미적분 예제

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} = y + 3$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} = y + 3$ 의 각 항을 $\cos^{2} (x)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} = y + 3$ 의 각 항을 $\cos^{2} (x)$ 로 나눕니다.

$\frac{\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} = \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{3}{\cos^{2} (x)}$

단계 1.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$\cos^{2} (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} = \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{3}{\cos^{2} (x)}$

단계 1.1.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{3}{\cos^{2} (x)}$

단계 1.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1.1

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{\cos^{2} (x) \cdot 1} + \frac{3}{\cos^{2} (x)}$

단계 1.1.3.1.2

분수를 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{3}{\cos^{2} (x)}$

단계 1.1.3.1.3

$\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 을 $\sec^{2} (x)$ 로 변환합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{1} \sec^{2} (x) + \frac{3}{\cos^{2} (x)}$

단계 1.1.3.1.4

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} = y \sec^{2} (x) + \frac{3}{\cos^{2} (x)}$

단계 1.1.3.1.5

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} = y \sec^{2} (x) + \frac{3}{\cos^{2} (x) \cdot 1}$

단계 1.1.3.1.6

분수를 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} = y \sec^{2} (x) + \frac{3}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

단계 1.1.3.1.7

$\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 을 $\sec^{2} (x)$ 로 변환합니다.

$\frac{d y}{d x} = y \sec^{2} (x) + \frac{3}{1} \sec^{2} (x)$

단계 1.1.3.1.8

$3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} = y \sec^{2} (x) + 3 \sec^{2} (x)$

단계 1.2

$y \sec^{2} (x) + 3 \sec^{2} (x)$ 에서 $\sec^{2} (x)$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$y \sec^{2} (x)$ 에서 $\sec^{2} (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \sec^{2} (x) y + 3 \sec^{2} (x)$

단계 1.2.2

$3 \sec^{2} (x)$ 에서 $\sec^{2} (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \sec^{2} (x) y + \sec^{2} (x) \cdot 3$

단계 1.2.3

$\sec^{2} (x) y + \sec^{2} (x) \cdot 3$ 에서 $\sec^{2} (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \sec^{2} (x) (y + 3)$

단계 1.3

양변에 $\frac{1}{y + 3}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 3} (\sec^{2} (x) (y + 3))$

단계 1.4

$y + 3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$\sec^{2} (x) (y + 3)$ 에서 $y + 3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 3} ((y + 3) \sec^{2} (x))$

단계 1.4.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 3} ((y + 3) \sec^{2} (x))$

단계 1.4.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \sec^{2} (x)$

단계 1.5

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y + 3} d y = \sec^{2} (x) d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{y + 3} d y = \int \sec^{2} (x) d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

먼저 $u = y + 3$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$u = y + 3$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1.1

$y + 3$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [y + 3]$

단계 2.2.1.1.2

합의 법칙에 의해 $y + 3$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

단계 2.2.1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d y} [3]$

단계 2.2.1.1.4

$3$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$1 + 0$

단계 2.2.1.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 2.2.1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{u} d u = \int \sec^{2} (x) d x$

단계 2.2.2

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \sec^{2} (x) d x$

단계 2.2.3

$u$ 를 모두 $y + 3$ 로 바꿉니다.

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \int \sec^{2} (x) d x$

단계 2.3

$\tan (x)$ 의 도함수는 $\sec^{2} (x)$ 이므로, $\sec^{2} (x)$ 의 적분값은 $\tan (x)$ 이 됩니다.

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \tan (x) + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\ln (| y + 3 |) = \tan (x) + C$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (| y + 3 |)} = e^{\tan (x) + C}$

단계 3.2

로그의 정의를 이용하여 $\ln (| y + 3 |) = \tan (x) + C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{\tan (x) + C} = | y + 3 |$

단계 3.3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$| y + 3 | = e^{\tan (x) + C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$| y + 3 | = e^{\tan (x) + C}$

단계 3.3.2

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$y + 3 = \pm e^{\tan (x) + C}$

단계 3.3.3

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$y = \pm e^{\tan (x) + C} - 3$

단계 4

상수 항을 하나로 묶습니다.

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단계 4.1

$e^{\tan (x) + C}$ 을 $e^{\tan (x)} e^{C}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm e^{\tan (x)} e^{C} - 3$

단계 4.2

$e^{\tan (x)}$ 와 $e^{C}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = \pm e^{C} e^{\tan (x)} - 3$

단계 4.3

양 또는 음의 상수를 결합합니다.

$y = C e^{\tan (x)} - 3$