미적분 예제

$(y^{2} - 2 x y) d x + x^{2} d y = 0$

단계 1

$M (x, y) = y^{2} - 2 x y$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 x y]$

단계 1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $y^{2} - 2 x y$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y]$

단계 1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + \frac{d}{d y} [- 2 x y]$

단계 1.3

$\frac{d}{d y} [- 2 x y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$- 2 x$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- 2 x y$ 의 미분은 $- 2 x \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 2 x \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 2 x \cdot 1$

단계 1.3.3

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 2 x$

단계 1.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x + 2 y$

단계 2

$N (x, y) = x^{2}$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 2.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$

단계 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $- 2 x + 2 y$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $2 x$ 을 대입합니다.

$- 2 x + 2 y = 2 x$

단계 3.2

좌측 변이 우측 변과 같지 않으므로 이 방정식은 항등식이 아닙니다.

$- 2 x + 2 y = 2 x$ 는 항등식이 아닙니다.

단계 4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 을 구합니다.

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단계 4.1

$\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $2 x$ 를 대입합니다.

$\frac{2 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

단계 4.2

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $- 2 x + 2 y$ 를 대입합니다.

$\frac{2 x - (- 2 x + 2 y)}{M}$

단계 4.3

$M$ 에 $y^{2} - 2 x y$ 를 대입합니다.

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단계 4.3.1

$M$ 에 $y^{2} - 2 x y$ 를 대입합니다.

$\frac{2 x - (- 2 x + 2 y)}{y^{2} - 2 x y}$

단계 4.3.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.3.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x - (- 2 x) - (2 y)}{y^{2} - 2 x y}$

단계 4.3.2.2

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x + 2 x - (2 y)}{y^{2} - 2 x y}$

단계 4.3.2.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x + 2 x - 2 y}{y^{2} - 2 x y}$

단계 4.3.2.4

$2 x$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$\frac{4 x - 2 y}{y^{2} - 2 x y}$

단계 4.3.2.5

$4 x - 2 y$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.3.2.5.1

$4 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (2 x) - 2 y}{y^{2} - 2 x y}$

단계 4.3.2.5.2

$- 2 y$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (2 x) + 2 (- y)}{y^{2} - 2 x y}$

단계 4.3.2.5.3

$2 (2 x) + 2 (- y)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (2 x - y)}{y^{2} - 2 x y}$

단계 4.3.3

$y^{2} - 2 x y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.3.3.1

$y^{2}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (2 x - y)}{y \cdot y - 2 x y}$

단계 4.3.3.2

$- 2 x y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (2 x - y)}{y \cdot y + y (- 2 x)}$

단계 4.3.3.3

$y \cdot y + y (- 2 x)$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (2 x - y)}{y (y - 2 x)}$

단계 4.3.4

$2 x - y$ 및 $y - 2 x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.3.4.1

$2 x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- (- 2 x) - y)}{y (y - 2 x)}$

단계 4.3.4.2

$- y$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- (- 2 x) - (y))}{y (y - 2 x)}$

단계 4.3.4.3

$- (- 2 x) - (y)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- (- 2 x + y))}{y (y - 2 x)}$

단계 4.3.4.4

$- (- 2 x + y)$ 을 $- 1 (- 2 x + y)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 (- 1 (- 2 x + y))}{y (y - 2 x)}$

단계 4.3.4.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{2 (- 1 (- 2 x + y))}{y (- 2 x + y)}$

단계 4.3.4.6

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (- 1 (- 2 x + y))}{y (- 2 x + y)}$

단계 4.3.4.7

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 \cdot (- 1)}{y}$

단계 4.3.5

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2}{y}$

단계 4.3.6

$M$ 에 $y^{2} - 2 x y$ 를 대입합니다.

$- \frac{2}{y}$

단계 4.4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 을 구합니다.

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

단계 5

적분 $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ 을 구합니다.

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단계 5.1

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

단계 5.2

$2$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

단계 5.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

단계 5.4

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

단계 5.5

간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

단계 5.6

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.6.1

$- 2$ 를 로그 안으로 옮겨 $- 2 \ln (| y |)$ 을 간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

단계 5.6.2

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

단계 5.6.3

짝수 거듭제곱을 갖는 멱법은 항상 양수이기 때문에 ${| y |}^{- 2}$ 에서 절댓값을 제거합니다.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

단계 5.6.4

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

단계 6

$(y^{2} - 2 x y) d x + x^{2} d y = 0$ 의 양변에 적분 인수 $\frac{1}{y^{2}}$ 를 곱합니다.

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단계 6.1

$y^{2} - 2 x y$ 에 $\frac{1}{y^{2}}$ 을 곱합니다.

$(y^{2} - 2 x y) \frac{1}{y^{2}} d x + x^{2} d y = 0$

단계 6.2

$y^{2} - 2 x y$ 에 $\frac{1}{y^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{y^{2} - 2 x y}{y^{2}} d x + x^{2} d y = 0$

단계 6.3

$y^{2} - 2 x y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

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단계 6.3.1

$y^{2}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y \cdot y - 2 x y}{y^{2}} d x + x^{2} d y = 0$

단계 6.3.2

$- 2 x y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y \cdot y + y (- 2 x)}{y^{2}} d x + x^{2} d y = 0$

단계 6.3.3

$y \cdot y + y (- 2 x)$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y (y - 2 x)}{y^{2}} d x + x^{2} d y = 0$

단계 6.4

공약수로 약분합니다.

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단계 6.4.1

$y^{2}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y (y - 2 x)}{y \cdot y} d x + x^{2} d y = 0$

단계 6.4.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{y (y - 2 x)}{y \cdot y} d x + x^{2} d y = 0$

단계 6.4.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y - 2 x}{y} d x + x^{2} d y = 0$

단계 6.5

$x^{2}$ 에 $\frac{1}{y^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{y - 2 x}{y} d x + x^{2} \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

단계 6.6

$x^{2}$ 와 $\frac{1}{y^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{y - 2 x}{y} d x + \frac{x^{2}}{y^{2}} d y = 0$

단계 7

집합 $f (x, y)$ 을 $N (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int \frac{x^{2}}{y^{2}} d y$

단계 8

$N (x, y) = \frac{x^{2}}{y^{2}}$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 8.1

$x^{2}$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $x^{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = x^{2} \int \frac{1}{y^{2}} d y$

단계 8.2

$y^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$f (x, y) = x^{2} \int {(y^{2})}^{- 1} d y$

단계 8.3

${(y^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 8.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f (x, y) = x^{2} \int y^{2 \cdot - 1} d y$

단계 8.3.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = x^{2} \int y^{- 2} d y$

단계 8.4

멱의 법칙에 의해 $y^{- 2}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $- y^{- 1}$ 가 됩니다.

$f (x, y) = x^{2} (- y^{- 1} + C)$

단계 8.5

답을 간단히 합니다.

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단계 8.5.1

$x^{2} (- y^{- 1} + C)$ 을 $x^{2} (- \frac{1}{y}) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$f (x, y) = x^{2} (- \frac{1}{y}) + C$

단계 8.5.2

$x^{2}$ 와 $\frac{1}{y}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{y} + C$

단계 9

$g (x)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (x)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{y} + g (x)$

단계 10

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y - 2 x}{y}$

단계 11

$\frac{\partial f}{\partial x}$ 를 구합니다.

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단계 11.1

$x$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{y} + g (x)] = \frac{y - 2 x}{y}$

단계 11.2

합의 법칙에 의해 $- \frac{x^{2}}{y} + g (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - 2 x}{y}$

단계 11.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{y}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 11.3.1

$- \frac{1}{y}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{x^{2}}{y}$ 의 미분은 $- \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$- \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - 2 x}{y}$

단계 11.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{y} (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - 2 x}{y}$

단계 11.3.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 \frac{1}{y} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - 2 x}{y}$

단계 11.3.4

$- 2$ 와 $\frac{1}{y}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2}{y} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - 2 x}{y}$

단계 11.3.5

$\frac{- 2}{y}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2 x}{y} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - 2 x}{y}$

단계 11.3.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2 x}{y} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - 2 x}{y}$

단계 11.4

$g (x)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d x}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$- \frac{2 x}{y} + \frac{d g}{d x} = \frac{y - 2 x}{y}$

단계 11.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d x} - \frac{2 x}{y} = \frac{y - 2 x}{y}$

단계 12

$\frac{d g}{d x}$ 에 대해 풉니다.

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단계 12.1

$\frac{d g}{d x}$ 에 대해 풉니다.

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단계 12.1.1

변수를 포함한 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

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단계 12.1.1.1

방정식의 양변에서 $\frac{y - 2 x}{y}$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} - \frac{2 x}{y} - \frac{y - 2 x}{y} = 0$

단계 12.1.1.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 x - (y - 2 x)}{y} = 0$

단계 12.1.1.3

각 항을 간단히 합니다.

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단계 12.1.1.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 x - y - (- 2 x)}{y} = 0$

단계 12.1.1.3.2

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 x - y + 2 x}{y} = 0$

단계 12.1.1.4

$- 2 x - y + 2 x$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 12.1.1.4.1

$- 2 x$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y + 0}{y} = 0$

단계 12.1.1.4.2

$- y$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y}{y} = 0$

단계 12.1.1.5

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 12.1.1.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y}{y} = 0$

단계 12.1.1.5.2

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d g}{d x} - 1 = 0$

단계 12.1.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$\frac{d g}{d x} = 1$

단계 13

$1$ 의 역도함수를 구하여 $g (x)$ 을 구합니다.

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단계 13.1

$\frac{d g}{d x} = 1$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int d x$

단계 13.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ 의 값을 구합니다.

$g (x) = \int d x$

단계 13.3

상수 규칙을 적용합니다.

$g (x) = x + C$

단계 14

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{y} + g (x)$ 에서 $g (x)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{y} + x + C$