미적분 예제

$(2 x + 1) d y + y^{2} d x = 0$

단계 1

방정식의 양변에서 $y^{2} d x$ 를 뺍니다.

$(2 x + 1) d y = - y^{2} d x$

단계 2

양변에 $\frac{1}{(2 x + 1) y^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{(2 x + 1) y^{2}} (2 x + 1) d y = \frac{1}{(2 x + 1) y^{2}} (- y^{2}) d x$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$2 x + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$(2 x + 1) y^{2}$ 에서 $2 x + 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{(2 x + 1) (y^{2})} (2 x + 1) d y = \frac{1}{(2 x + 1) y^{2}} (- y^{2}) d x$

단계 3.1.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{(2 x + 1) y^{2}} (2 x + 1) d y = \frac{1}{(2 x + 1) y^{2}} (- y^{2}) d x$

단계 3.1.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{1}{(2 x + 1) y^{2}} (- y^{2}) d x$

단계 3.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{1}{y^{2}} d y = - \frac{1}{(2 x + 1) y^{2}} y^{2} d x$

단계 3.3

$y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$- \frac{1}{(2 x + 1) y^{2}}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{(2 x + 1) y^{2}} y^{2} d x$

단계 3.3.2

$(2 x + 1) y^{2}$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{y^{2} (2 x + 1)} y^{2} d x$

단계 3.3.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{y^{2} (2 x + 1)} y^{2} d x$

단계 3.3.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{2 x + 1} d x$

단계 3.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{y^{2}} d y = - \frac{1}{2 x + 1} d x$

단계 4

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int - \frac{1}{2 x + 1} d x$

단계 4.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

$y^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int - \frac{1}{2 x + 1} d x$

단계 4.2.1.2

${(y^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int - \frac{1}{2 x + 1} d x$

단계 4.2.1.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int y^{- 2} d y = \int - \frac{1}{2 x + 1} d x$

단계 4.2.2

멱의 법칙에 의해 $y^{- 2}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $- y^{- 1}$ 가 됩니다.

$- y^{- 1} + C_{1} = \int - \frac{1}{2 x + 1} d x$

단계 4.2.3

$- y^{- 1} + C_{1}$ 을 $- \frac{1}{y} + C_{1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - \frac{1}{2 x + 1} d x$

단계 4.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int \frac{1}{2 x + 1} d x$

단계 4.3.2

먼저 $u = 2 x + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

$u = 2 x + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.1

$2 x + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

단계 4.3.2.1.2

합의 법칙에 의해 $2 x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 4.3.2.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 4.3.2.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 4.3.2.1.3.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 4.3.2.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.4.1

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$2 + 0$

단계 4.3.2.1.4.2

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2$

단계 4.3.2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

단계 4.3.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.1

$\frac{1}{u}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

단계 4.3.3.2

$u$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u} d u$

단계 4.3.4

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

단계 4.3.5

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

단계 4.3.6

간단히 합니다.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

단계 4.3.7

$u$ 를 모두 $2 x + 1$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C_{2}$

단계 4.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$- \frac{1}{y} = - \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C$

단계 5

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$- \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

$\ln (| 2 x + 1 |)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$- \frac{1}{y} = - (\frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

단계 5.1.2

$\frac{1}{2}$ 를 로그 안으로 옮겨 $\frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |)$ 을 간단히 합니다.

$- \frac{1}{y} = - \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C$

단계 5.2

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$y, 1, 1$

단계 5.2.2

1과 식의 최소공배수는 그 식 자체입니다.

$y$

단계 5.3

$- \frac{1}{y} = - \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C$ 의 각 항에 $y$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$- \frac{1}{y} = - \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C$ 의 각 항에 $y$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{y} y = - \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) y + C y$

단계 5.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.1

$- \frac{1}{y}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{- 1}{y} y = - \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) y + C y$

단계 5.3.2.1.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 1}{y} y = - \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) y + C y$

단계 5.3.2.1.3

수식을 다시 씁니다.

$- 1 = - \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) y + C y$

단계 5.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

$- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) y + C y$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- 1 = - y \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C y$

단계 5.4

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$- y \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C y = - 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- y \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C y = - 1$

단계 5.4.2

$- y \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1

$- y \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y (- 1 \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})) + C y = - 1$

단계 5.4.2.2

$C y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y (- 1 \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})) + y C = - 1$

단계 5.4.2.3

$y (- 1 \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})) + y C$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y (- 1 \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C) = - 1$

단계 5.4.3

$- 1 \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ 을 $- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ 로 바꿔 씁니다.

$y (- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C) = - 1$

단계 5.4.4

$y (- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C) = - 1$ 의 각 항을 $- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.4.1

$y (- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C) = - 1$ 의 각 항을 $- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C$ 로 나눕니다.

$\frac{y (- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C)}{- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C} = \frac{- 1}{- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

단계 5.4.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.4.2.1

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{- 1}{- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

단계 5.4.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.4.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = - \frac{1}{- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

단계 5.4.4.3.2

$- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y = - \frac{1}{- (\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})) + C}$

단계 5.4.4.3.3

$C$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y = - \frac{1}{- (\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})) - 1 (- C)}$

단계 5.4.4.3.4

$- (\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})) - 1 (- C)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y = - \frac{1}{- (\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) - C)}$

단계 5.4.4.3.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.4.3.5.1

$- (\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) - C)$ 을 $- 1 (\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) - C)$ 로 바꿔 씁니다.

$y = - \frac{1}{- 1 (\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) - C)}$

단계 5.4.4.3.5.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = - - \frac{1}{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) - C}$

단계 5.4.4.3.5.3

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = 1 \frac{1}{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) - C}$

단계 5.4.4.3.5.4

$\frac{1}{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) - C}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{1}{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) - C}$

단계 6

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \frac{1}{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$