미적분 예제

$x \sin (\frac{y}{x}) \frac{d y}{d x} + x - y \sin (\frac{y}{x}) = 0$

단계 1

$\frac{d y}{d x}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$x \sin (\frac{y}{x}) \frac{d y}{d x} + x - y \sin (\frac{y}{x})$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$x \frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x}) + x - y \sin (\frac{y}{x}) = 0$

단계 1.2

$\frac{d y}{d x}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

방정식의 양변에서 $x$ 를 뺍니다.

$x \frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x}) - y \sin (\frac{y}{x}) = - x$

단계 1.2.2

방정식의 양변에 $y \sin (\frac{y}{x})$ 를 더합니다.

$x \frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x}) = - x + y \sin (\frac{y}{x})$

단계 1.3

$x \frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x}) = - x + y \sin (\frac{y}{x})$ 의 각 항을 $x \sin (\frac{y}{x})$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$x \frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x}) = - x + y \sin (\frac{y}{x})$ 의 각 항을 $x \sin (\frac{y}{x})$ 로 나눕니다.

$\frac{x \frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})} = \frac{- x}{x \sin (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

단계 1.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x \frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})} = \frac{- x}{x \sin (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

단계 1.3.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x})}{\sin (\frac{y}{x})} = \frac{- x}{x \sin (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

단계 1.3.2.2

$\sin (\frac{y}{x})$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x})}{\sin (\frac{y}{x})} = \frac{- x}{x \sin (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

단계 1.3.2.2.2

$\frac{d y}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x}{x \sin (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

단계 1.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x}{x \sin (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

단계 1.3.3.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{\sin (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

단계 1.3.3.1.2

분수를 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{1} \cdot \frac{1}{\sin (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

단계 1.3.3.1.3

$\frac{1}{\sin (\frac{y}{x})}$ 을 $\csc (\frac{y}{x})$ 로 변환합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{1} \csc (\frac{y}{x}) + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

단계 1.3.3.1.4

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} = - \csc (\frac{y}{x}) + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

단계 1.3.3.1.5

$\sin (\frac{y}{x})$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \csc (\frac{y}{x}) + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

단계 1.3.3.1.5.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = - \csc (\frac{y}{x}) + \frac{y}{x}$

단계 2

$V = \frac{y}{x}$ 라고 두고, $V$ 를 $\frac{y}{x}$ 에 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \csc (V) + V$

단계 3

$V = \frac{y}{x}$ 을 $y$ 에 대해 풉니다.

$y = V x$

단계 4

곱의 미분 법칙을 사용해 $x$ 에 대하여 $y = V x$ 의 도함수를 구합니다.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

단계 5

$\frac{d y}{d x}$ 에 $x \frac{d V}{d x} + V$ 를 대입합니다.

$x \frac{d V}{d x} + V = - \csc (V) + V$

단계 6

치환 미분 방정식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$\frac{d V}{d x}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.1

$\frac{d V}{d x}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.1.1

방정식의 양변에서 $V$ 를 뺍니다.

$x \frac{d V}{d x} = - \csc (V) + V - V$

단계 6.1.1.1.2

$- \csc (V) + V - V$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.1.2.1

$V$ 에서 $V$ 을 뺍니다.

$x \frac{d V}{d x} = - \csc (V) + 0$

단계 6.1.1.1.2.2

$- \csc (V)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x \frac{d V}{d x} = - \csc (V)$

단계 6.1.1.2

$x \frac{d V}{d x} = - \csc (V)$ 의 각 항을 $x$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.2.1

$x \frac{d V}{d x} = - \csc (V)$ 의 각 항을 $x$ 로 나눕니다.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- \csc (V)}{x}$

단계 6.1.1.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.2.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- \csc (V)}{x}$

단계 6.1.1.2.2.1.2

$\frac{d V}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \csc (V)}{x}$

단계 6.1.1.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{\csc (V)}{x}$

단계 6.1.2

양변에 $\frac{1}{\csc (V)}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{\csc (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\csc (V)} (- \frac{\csc (V)}{x})$

단계 6.1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.3.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{1}{\csc (V)} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{\csc (V)} \cdot \frac{\csc (V)}{x}$

단계 6.1.3.2

$\csc (V)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.3.2.1

$- \frac{1}{\csc (V)}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{1}{\csc (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{\csc (V)} \cdot \frac{\csc (V)}{x}$

단계 6.1.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{\csc (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{\csc (V)} \cdot \frac{\csc (V)}{x}$

단계 6.1.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{\csc (V)} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

단계 6.1.4

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{\csc (V)} d V = - \frac{1}{x} d x$

단계 6.2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{\csc (V)} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1.1

$\csc (V)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\int \frac{1}{\frac{1}{\sin (V)}} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.1.2

$\frac{1}{\sin (V)}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$\int 1 \sin (V) d V = \int - \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.1.3

$\sin (V)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int \sin (V) d V = \int - \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.2

$\sin (V)$ 를 $V$ 에 대해 적분하면 $- \cos (V)$ 입니다.

$- \cos (V) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \cos (V) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.3.2

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$- \cos (V) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

단계 6.2.3.3

간단히 합니다.

$- \cos (V) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

단계 6.2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$- \cos (V) = - \ln (| x |) + C$

단계 6.3

$V$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

$- \cos (V) = - \ln (| x |) + C$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1.1

$- \cos (V) = - \ln (| x |) + C$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- \cos (V)}{- 1} = \frac{- \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

단계 6.3.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{\cos (V)}{1} = \frac{- \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

단계 6.3.1.2.2

$\cos (V)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\cos (V) = \frac{- \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

단계 6.3.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1.3.1.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\cos (V) = \frac{\ln (| x |)}{1} + \frac{C}{- 1}$

단계 6.3.1.3.1.2

$\ln (| x |)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\cos (V) = \ln (| x |) + \frac{C}{- 1}$

단계 6.3.1.3.1.3

$\frac{C}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$\cos (V) = \ln (| x |) - 1 \cdot C$

단계 6.3.1.3.1.4

$- 1 \cdot C$ 을 $- C$ 로 바꿔 씁니다.

$\cos (V) = \ln (| x |) - C$

단계 6.3.2

코사인 안의 $V$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코사인의 역을 취합니다.

$V = \arccos (\ln (| x |) - C)$

단계 6.4

적분 상수를 간단히 합니다.

$V = \arccos (\ln (| x |) + C)$

단계 7

$V$ 에 $\frac{y}{x}$ 를 대입합니다.

$\frac{y}{x} = \arccos (\ln (| x |) + C)$

단계 8

$\frac{y}{x} = \arccos (\ln (| x |) + C)$ 을 $y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

양변에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{y}{x} x = \arccos (\ln (| x |) + C) x$

단계 8.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y}{x} x = \arccos (\ln (| x |) + C) x$

단계 8.2.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y = \arccos (\ln (| x |) + C) x$

단계 8.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.1

$\arccos (\ln (| x |) + C) x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y = x \arccos (\ln (| x |) + C)$