미적분 예제

$y \frac{d^{2} x}{d y^{2}} = y^{2} + 1$

단계 1

모든 해는 $x = e^{r y}$ 형식인 것으로 가정합니다.

단계 2

$y \frac{d^{2} x}{d y^{2}} = y^{2} + 1$ 에 대한 특성 방정식을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수를 구합니다.

$\frac{d x}{d y} = r e^{r y}$

단계 2.2

2차 도함수를 구합니다

$\frac{d^{2} x}{d y^{2}} = r^{2} e^{r y}$

단계 2.3

미분 방정식에 대입합니다.

$y (r^{2} e^{r y}) = y^{2} + 1$

단계 2.4

$y (r^{2} e^{r y})$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y r^{2} e^{r y} = y^{2} + 1$

단계 2.5

$y r^{2} e^{r y}$ 에서 $e^{r y}$ 를 인수분해합니다.

$e^{r y} (y r^{2}) = y^{2} + 1$

단계 2.6

지수는 절대 0이 될 수 없으므로 양쪽을 $e^{r y}$ 으로 나눕니다.

$y r^{2} = y^{2} + 1$

단계 3

$r$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.1

$y r^{2} = y^{2} + 1$ 의 각 항을 $y$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 3.1.1

$y r^{2} = y^{2} + 1$ 의 각 항을 $y$ 로 나눕니다.

$\frac{y r^{2}}{y} = \frac{y^{2}}{y} + \frac{1}{y}$

단계 3.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y r^{2}}{y} = \frac{y^{2}}{y} + \frac{1}{y}$

단계 3.1.2.1.2

$r^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$r^{2} = \frac{y^{2}}{y} + \frac{1}{y}$

단계 3.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.3.1

$y^{2}$ 및 $y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.3.1.1

$y^{2}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$r^{2} = \frac{y \cdot y}{y} + \frac{1}{y}$

단계 3.1.3.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.3.1.2.1

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$r^{2} = \frac{y \cdot y}{y^{1}} + \frac{1}{y}$

단계 3.1.3.1.2.2

$y^{1}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$r^{2} = \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} + \frac{1}{y}$

단계 3.1.3.1.2.3

공약수로 약분합니다.

$r^{2} = \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} + \frac{1}{y}$

단계 3.1.3.1.2.4

수식을 다시 씁니다.

$r^{2} = \frac{y}{1} + \frac{1}{y}$

단계 3.1.3.1.2.5

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$r^{2} = y + \frac{1}{y}$

단계 3.2

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$r = \pm \sqrt{y + \frac{1}{y}}$

단계 3.3

$\pm \sqrt{y + \frac{1}{y}}$ 을 간단히 합니다.

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단계 3.3.1

공통 분모를 가지는 분수로 $y$ 을 표현하기 위해 $\frac{y}{y}$ 을 곱합니다.

$r = \pm \sqrt{\frac{y \cdot y}{y} + \frac{1}{y}}$

단계 3.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$r = \pm \sqrt{\frac{y \cdot y + 1}{y}}$

단계 3.3.3

$y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

$r = \pm \sqrt{\frac{y^{2} + 1}{y}}$

단계 3.3.4

$\sqrt{\frac{y^{2} + 1}{y}}$ 을 $\frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{\sqrt{y}}$ 로 바꿔 씁니다.

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{\sqrt{y}}$

단계 3.3.5

$\frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{\sqrt{y}}$ 에 $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ 을 곱합니다.

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$

단계 3.3.6

분모를 결합하고 간단히 합니다.

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단계 3.3.6.1

$\frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{\sqrt{y}}$ 에 $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ 을 곱합니다.

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{\sqrt{y} \sqrt{y}}$

단계 3.3.6.2

$\sqrt{y}$ 를 $1$ 승 합니다.

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}}$

단계 3.3.6.3

$\sqrt{y}$ 를 $1$ 승 합니다.

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}}$

단계 3.3.6.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1 + 1}}$

단계 3.3.6.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{2}}$

단계 3.3.6.6

${\sqrt{y}}^{2}$ 을 $y$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 3.3.6.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{y}$ 을(를) $y^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 3.3.6.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 3.3.6.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}}$

단계 3.3.6.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.6.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}}$

단계 3.3.6.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{y^{1}}$

단계 3.3.6.6.5

간단히 합니다.

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{y}$

단계 3.3.7

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$r = \pm \frac{\sqrt{(y^{2} + 1) y}}{y}$

단계 3.3.8

$\pm \frac{\sqrt{(y^{2} + 1) y}}{y}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$r = \pm \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

단계 3.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 3.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$r = \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

단계 3.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$r = - \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

단계 3.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$r = \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

$r = - \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

$r = \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

$r = - \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

$r = \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

$r = - \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

단계 4

$r$ 의 구한 값 두 개를 사용하여 두 개의 해를 구성할 수 있습니다.

$x_{1} = e^{\frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

$x_{2} = e^{- \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

단계 5

중첩 원리에 의해 일반해는 2계 동차 선형 미분 방정식에 대한 두 해의 선형 결합입니다.

$x = c_{1} e^{\frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y} + c_{2} e^{- \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

단계 6

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

공약수로 약분합니다.

$x = c_{1} e^{\frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y} + c_{2} e^{- \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

단계 6.1.2

수식을 다시 씁니다.

$x = c_{1} e^{\sqrt{y (y^{2} + 1)}} + c_{2} e^{- \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

단계 6.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.1

$- \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$x = c_{1} e^{\sqrt{y (y^{2} + 1)}} + c_{2} e^{\frac{- \sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

단계 6.2.2

공약수로 약분합니다.

$x = c_{1} e^{\sqrt{y (y^{2} + 1)}} + c_{2} e^{\frac{- \sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

단계 6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$x = c_{1} e^{\sqrt{y (y^{2} + 1)}} + c_{2} e^{- \sqrt{y (y^{2} + 1)}}$