미적분 예제

$\frac{d x}{d y} + (\frac{4}{y + 1}) x = \frac{y}{y + 1}$

단계 1

적분 인수는 $e^{\int P (y) d y}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (y) = \frac{4}{y + 1}$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

적분을 구합니다.

$e^{\int \frac{4}{y + 1} d y}$

단계 1.2

$\frac{4}{y + 1}$ 를 적분합니다.

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단계 1.2.1

$4$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{4 \int \frac{1}{y + 1} d y}$

단계 1.2.2

먼저 $u = y + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.2.2.1

$u = y + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d y}$ 를 구합니다.

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단계 1.2.2.1.1

$y + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

단계 1.2.2.1.2

합의 법칙에 의해 $y + 1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

단계 1.2.2.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

단계 1.2.2.1.4

$1$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$1 + 0$

단계 1.2.2.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 1.2.2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$e^{4 \int \frac{1}{u} d u}$

단계 1.2.3

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$e^{4 (\ln (| u |) + C)}$

단계 1.2.4

간단히 합니다.

$e^{4 \ln (| u |) + C}$

단계 1.2.5

$u$ 를 모두 $y + 1$ 로 바꿉니다.

$e^{4 \ln (| y + 1 |) + C}$

단계 1.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{4 \ln (y + 1)}$

단계 1.4

로그 멱의 법칙을 사용합니다.

$e^{\ln ({(y + 1)}^{4})}$

단계 1.5

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

${(y + 1)}^{4}$

단계 1.6

이항정리 이용

$y^{4} + 4 y^{3} \cdot 1 + 6 y^{2} \cdot 1^{2} + 4 y \cdot 1^{3} + 1^{4}$

단계 1.7

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.7.1

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} \cdot 1^{2} + 4 y \cdot 1^{3} + 1^{4}$

단계 1.7.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} \cdot 1 + 4 y \cdot 1^{3} + 1^{4}$

단계 1.7.3

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y \cdot 1^{3} + 1^{4}$

단계 1.7.4

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y \cdot 1 + 1^{4}$

단계 1.7.5

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1^{4}$

단계 1.7.6

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1$

단계 2

각 항에 적분 인수 $y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1$ 을 곱합니다.

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단계 2.1

각 항에 $y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1$ 을 곱합니다.

$(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{d x}{d y} + (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) ((\frac{4}{y + 1}) x) = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

단계 2.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + 1 \frac{d x}{d y} + (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) ((\frac{4}{y + 1}) x) = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

단계 2.2.2

$\frac{d x}{d y}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) ((\frac{4}{y + 1}) x) = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

단계 2.2.3

$\frac{4}{y + 1}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{4 x}{y + 1} = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

단계 2.2.4

$y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1$ 에 $\frac{4 x}{y + 1}$ 을 곱합니다.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + \frac{(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) (4 x)}{y + 1} = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

단계 2.2.5

이항정리를 사용해 $y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1$ 를 인수분해합니다.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + \frac{{(y + 1)}^{4} \cdot 4 x}{y + 1} = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

단계 2.2.6

${(y + 1)}^{4}$ 및 $y + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.6.1

${(y + 1)}^{4} \cdot 4 x$ 에서 $y + 1$ 를 인수분해합니다.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + \frac{(y + 1) ({(y + 1)}^{3} \cdot 4 x)}{y + 1} = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

단계 2.2.6.2

공약수로 약분합니다.

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단계 2.2.6.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + \frac{(y + 1) ({(y + 1)}^{3} \cdot 4 x)}{(y + 1) \cdot 1} = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

단계 2.2.6.2.2

공약수로 약분합니다.

단계 2.2.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + \frac{{(y + 1)}^{3} \cdot 4 x}{1} = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

단계 2.2.6.2.4

${(y + 1)}^{3} \cdot 4 x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + {(y + 1)}^{3} \cdot 4 x = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

단계 2.2.7

이항정리 이용

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + (y^{3} + 3 y^{2} \cdot 1 + 3 y \cdot 1^{2} + 1^{3}) \cdot 4 x = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

단계 2.2.8

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.8.1

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + (y^{3} + 3 y^{2} + 3 y \cdot 1^{2} + 1^{3}) \cdot 4 x = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

단계 2.2.8.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + (y^{3} + 3 y^{2} + 3 y \cdot 1 + 1^{3}) \cdot 4 x = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

단계 2.2.8.3

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + (y^{3} + 3 y^{2} + 3 y + 1^{3}) \cdot 4 x = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

단계 2.2.8.4

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + (y^{3} + 3 y^{2} + 3 y + 1) \cdot 4 x = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

단계 2.2.9

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + (y^{3} \cdot 4 + 3 y^{2} \cdot 4 + 3 y \cdot 4 + 1 \cdot 4) x = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

단계 2.2.10

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.10.1

$y^{3}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + (4 \cdot y^{3} + 3 y^{2} \cdot 4 + 3 y \cdot 4 + 1 \cdot 4) x = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

단계 2.2.10.2

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + (4 \cdot y^{3} + 12 y^{2} + 3 y \cdot 4 + 1 \cdot 4) x = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

단계 2.2.10.3

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + (4 \cdot y^{3} + 12 y^{2} + 12 y + 1 \cdot 4) x = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

단계 2.2.10.4

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + (4 \cdot y^{3} + 12 y^{2} + 12 y + 4) x = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

단계 2.2.11

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

단계 2.3

$y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1$ 에 $\frac{y}{y + 1}$ 을 곱합니다.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = \frac{(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) y}{y + 1}$

단계 2.4

이항정리를 사용해 $y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1$ 를 인수분해합니다.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = \frac{{(y + 1)}^{4} y}{y + 1}$

단계 2.5

${(y + 1)}^{4}$ 및 $y + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

${(y + 1)}^{4} y$ 에서 $y + 1$ 를 인수분해합니다.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = \frac{(y + 1) ({(y + 1)}^{3} y)}{y + 1}$

단계 2.5.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = \frac{(y + 1) ({(y + 1)}^{3} y)}{(y + 1) \cdot 1}$

단계 2.5.2.2

공약수로 약분합니다.

단계 2.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = \frac{{(y + 1)}^{3} y}{1}$

단계 2.5.2.4

${(y + 1)}^{3} y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = {(y + 1)}^{3} y$

단계 2.6

이항정리 이용

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = (y^{3} + 3 y^{2} \cdot 1 + 3 y \cdot 1^{2} + 1^{3}) y$

단계 2.7

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.1

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = (y^{3} + 3 y^{2} + 3 y \cdot 1^{2} + 1^{3}) y$

단계 2.7.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = (y^{3} + 3 y^{2} + 3 y \cdot 1 + 1^{3}) y$

단계 2.7.3

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = (y^{3} + 3 y^{2} + 3 y + 1^{3}) y$

단계 2.7.4

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = (y^{3} + 3 y^{2} + 3 y + 1) y$

단계 2.8

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = y^{3} y + 3 y^{2} y + 3 y \cdot y + 1 y$

단계 2.9

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.9.1

지수를 더하여 $y^{3}$ 에 $y$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.9.1.1

$y^{3}$ 에 $y$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.9.1.1.1

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = y^{3} y^{1} + 3 y^{2} y + 3 y \cdot y + 1 y$

단계 2.9.1.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = y^{3 + 1} + 3 y^{2} y + 3 y \cdot y + 1 y$

단계 2.9.1.2

$3$ 를 $1$ 에 더합니다.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = y^{4} + 3 y^{2} y + 3 y \cdot y + 1 y$

단계 2.9.2

지수를 더하여 $y^{2}$ 에 $y$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.9.2.1

$y$ 를 옮깁니다.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = y^{4} + 3 (y \cdot y^{2}) + 3 y \cdot y + 1 y$

단계 2.9.2.2

$y$ 에 $y^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.9.2.2.1

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = y^{4} + 3 (y^{1} y^{2}) + 3 y \cdot y + 1 y$

단계 2.9.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = y^{4} + 3 y^{1 + 2} + 3 y \cdot y + 1 y$

단계 2.9.2.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = y^{4} + 3 y^{3} + 3 y \cdot y + 1 y$

단계 2.9.3

지수를 더하여 $y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

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단계 2.9.3.1

$y$ 를 옮깁니다.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = y^{4} + 3 y^{3} + 3 (y \cdot y) + 1 y$

단계 2.9.3.2

$y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = y^{4} + 3 y^{3} + 3 y^{2} + 1 y$

단계 2.9.4

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = y^{4} + 3 y^{3} + 3 y^{2} + y$

단계 3

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d y} [(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) x] = y^{4} + 3 y^{3} + 3 y^{2} + y$

단계 4

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d y} [(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) x] d y = \int y^{4} + 3 y^{3} + 3 y^{2} + y d y$

단계 5

좌변을 적분합니다.

$(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) x = \int y^{4} + 3 y^{3} + 3 y^{2} + y d y$

단계 6

우변을 적분합니다.

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단계 6.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) x = \int y^{4} d y + \int 3 y^{3} d y + \int 3 y^{2} d y + \int y d y$

단계 6.2

멱의 법칙에 의해 $y^{4}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{5} y^{5}$ 가 됩니다.

$(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) x = \frac{1}{5} y^{5} + C + \int 3 y^{3} d y + \int 3 y^{2} d y + \int y d y$

단계 6.3

$3$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) x = \frac{1}{5} y^{5} + C + 3 \int y^{3} d y + \int 3 y^{2} d y + \int y d y$

단계 6.4

멱의 법칙에 의해 $y^{3}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} y^{4}$ 가 됩니다.

$(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) x = \frac{1}{5} y^{5} + C + 3 (\frac{1}{4} y^{4} + C) + \int 3 y^{2} d y + \int y d y$

단계 6.5

$3$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) x = \frac{1}{5} y^{5} + C + 3 (\frac{1}{4} y^{4} + C) + 3 \int y^{2} d y + \int y d y$

단계 6.6

멱의 법칙에 의해 $y^{2}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} y^{3}$ 가 됩니다.

$(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) x = \frac{1}{5} y^{5} + C + 3 (\frac{1}{4} y^{4} + C) + 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int y d y$

단계 6.7

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) x = \frac{1}{5} y^{5} + C + 3 (\frac{1}{4} y^{4} + C) + 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \frac{1}{2} y^{2} + C$

단계 6.8

간단히 합니다.

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단계 6.8.1

간단히 합니다.

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단계 6.8.1.1

$\frac{1}{4}$ 와 $y^{4}$ 을 묶습니다.

$(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) x = \frac{1}{5} y^{5} + C + 3 (\frac{y^{4}}{4} + C) + 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \frac{1}{2} y^{2} + C$

단계 6.8.1.2

$\frac{1}{3}$ 와 $y^{3}$ 을 묶습니다.

$(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) x = \frac{1}{5} y^{5} + C + 3 (\frac{y^{4}}{4} + C) + 3 (\frac{y^{3}}{3} + C) + \frac{1}{2} y^{2} + C$

단계 6.8.2

간단히 합니다.

$(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) x = \frac{y^{5}}{5} + \frac{3 y^{4}}{4} + y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C$

단계 6.8.3

항을 다시 정렬합니다.

$(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) x = \frac{1}{5} y^{5} + \frac{3}{4} y^{4} + y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C$

단계 7

$(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) x = \frac{1}{5} y^{5} + \frac{3}{4} y^{4} + y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C$ 의 각 항을 $y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 7.1

$(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) x = \frac{1}{5} y^{5} + \frac{3}{4} y^{4} + y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C$ 의 각 항을 $y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1$ 로 나눕니다.

$\frac{(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) x}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} = \frac{\frac{1}{5} y^{5}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{\frac{3}{4} y^{4}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{y^{3}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{\frac{1}{2} y^{2}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{C}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1}$

단계 7.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 7.2.1

$y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.1.1

공약수로 약분합니다.

단계 7.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{\frac{1}{5} y^{5}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{\frac{3}{4} y^{4}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{y^{3}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{\frac{1}{2} y^{2}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{C}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1}$

단계 7.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 7.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 7.3.1.1

$\frac{1}{5}$ 와 $y^{5}$ 을 묶습니다.

$x = \frac{\frac{y^{5}}{5}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{\frac{3}{4} y^{4}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{y^{3}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{\frac{1}{2} y^{2}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{C}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1}$

단계 7.3.1.2

이항정리를 사용해 $y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{\frac{y^{5}}{5}}{{(y + 1)}^{4}} + \frac{\frac{3}{4} y^{4}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{y^{3}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{\frac{1}{2} y^{2}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{C}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1}$

단계 7.3.1.3

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$x = \frac{y^{5}}{5} \cdot \frac{1}{{(y + 1)}^{4}} + \frac{\frac{3}{4} y^{4}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{y^{3}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{\frac{1}{2} y^{2}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{C}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1}$

단계 7.3.1.4

조합합니다.

$x = \frac{y^{5} \cdot 1}{5 {(y + 1)}^{4}} + \frac{\frac{3}{4} y^{4}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{y^{3}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{\frac{1}{2} y^{2}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{C}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1}$

단계 7.3.1.5

$y^{5}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{y^{5}}{5 {(y + 1)}^{4}} + \frac{\frac{3}{4} y^{4}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{y^{3}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{\frac{1}{2} y^{2}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{C}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1}$

단계 7.3.1.6

$\frac{3}{4}$ 와 $y^{4}$ 을 묶습니다.

$x = \frac{y^{5}}{5 {(y + 1)}^{4}} + \frac{\frac{3 y^{4}}{4}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{y^{3}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{\frac{1}{2} y^{2}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{C}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1}$

단계 7.3.1.7

이항정리를 사용해 $y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{y^{5}}{5 {(y + 1)}^{4}} + \frac{\frac{3 y^{4}}{4}}{{(y + 1)}^{4}} + \frac{y^{3}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{\frac{1}{2} y^{2}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{C}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1}$

단계 7.3.1.8

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$x = \frac{y^{5}}{5 {(y + 1)}^{4}} + \frac{3 y^{4}}{4} \cdot \frac{1}{{(y + 1)}^{4}} + \frac{y^{3}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{\frac{1}{2} y^{2}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{C}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1}$

단계 7.3.1.9

조합합니다.

$x = \frac{y^{5}}{5 {(y + 1)}^{4}} + \frac{3 y^{4} \cdot 1}{4 {(y + 1)}^{4}} + \frac{y^{3}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{\frac{1}{2} y^{2}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{C}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1}$

단계 7.3.1.10

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{y^{5}}{5 {(y + 1)}^{4}} + \frac{3 y^{4}}{4 {(y + 1)}^{4}} + \frac{y^{3}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{\frac{1}{2} y^{2}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{C}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1}$

단계 7.3.1.11

이항정리를 사용해 $y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{y^{5}}{5 {(y + 1)}^{4}} + \frac{3 y^{4}}{4 {(y + 1)}^{4}} + \frac{y^{3}}{{(y + 1)}^{4}} + \frac{\frac{1}{2} y^{2}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{C}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1}$

단계 7.3.1.12

$\frac{1}{2}$ 와 $y^{2}$ 을 묶습니다.

$x = \frac{y^{5}}{5 {(y + 1)}^{4}} + \frac{3 y^{4}}{4 {(y + 1)}^{4}} + \frac{y^{3}}{{(y + 1)}^{4}} + \frac{\frac{y^{2}}{2}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{C}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1}$

단계 7.3.1.13

이항정리를 사용해 $y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{y^{5}}{5 {(y + 1)}^{4}} + \frac{3 y^{4}}{4 {(y + 1)}^{4}} + \frac{y^{3}}{{(y + 1)}^{4}} + \frac{\frac{y^{2}}{2}}{{(y + 1)}^{4}} + \frac{C}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1}$

단계 7.3.1.14

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$x = \frac{y^{5}}{5 {(y + 1)}^{4}} + \frac{3 y^{4}}{4 {(y + 1)}^{4}} + \frac{y^{3}}{{(y + 1)}^{4}} + \frac{y^{2}}{2} \cdot \frac{1}{{(y + 1)}^{4}} + \frac{C}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1}$

단계 7.3.1.15

조합합니다.

$x = \frac{y^{5}}{5 {(y + 1)}^{4}} + \frac{3 y^{4}}{4 {(y + 1)}^{4}} + \frac{y^{3}}{{(y + 1)}^{4}} + \frac{y^{2} \cdot 1}{2 {(y + 1)}^{4}} + \frac{C}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1}$

단계 7.3.1.16

$y^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{y^{5}}{5 {(y + 1)}^{4}} + \frac{3 y^{4}}{4 {(y + 1)}^{4}} + \frac{y^{3}}{{(y + 1)}^{4}} + \frac{y^{2}}{2 {(y + 1)}^{4}} + \frac{C}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1}$

단계 7.3.1.17

이항정리를 사용해 $y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{y^{5}}{5 {(y + 1)}^{4}} + \frac{3 y^{4}}{4 {(y + 1)}^{4}} + \frac{y^{3}}{{(y + 1)}^{4}} + \frac{y^{2}}{2 {(y + 1)}^{4}} + \frac{C}{{(y + 1)}^{4}}$