미적분 예제

$\frac{y}{x} d x + (y^{2} + \ln (| x |)) d y = 0$

단계 1

$M (x, y) = \frac{y}{x}$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

단계 1.2

$\frac{1}{x}$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $\frac{y}{x}$ 의 미분은 $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \cdot 1$

단계 1.4

$\frac{1}{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}$

단계 2

$N (x, y) = y^{2} + \ln (| x |)$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2} + \ln (| x |)]$

단계 2.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

합의 법칙에 의해 $y^{2} + \ln (| x |)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$

단계 2.2.2

$y^{2}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y^{2}$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = | x |$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $| x |$ 로 바꿉니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [| x |]$

단계 2.3.1.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [| x |]$

단계 2.3.1.3

$u$ 를 모두 $| x |$ 로 바꿉니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{| x |} \frac{d}{d x} [| x |]$

단계 2.3.2

$| x |$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{x}{| x |}$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{| x |} \cdot \frac{x}{| x |}$

단계 2.3.3

$\frac{1}{| x |}$ 에 $\frac{x}{| x |}$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x | | x |}$

단계 2.3.4

절댓값을 곱하려면 각 절댓값 내부의 항을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x \cdot x |}$

단계 2.3.5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1} x |}$

단계 2.3.6

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1} x^{1} |}$

단계 2.3.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1 + 1} |}$

단계 2.3.8

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{2} |}$

단계 2.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$0$ 를 $\frac{x}{| x^{2} |}$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{| x^{2} |}$

단계 2.4.2

절댓값에서 음이 아닌 항을 제거합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{x^{2}}$

단계 2.4.3

$x$ 및 $x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.3.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x^{1}}{x^{2}}$

단계 2.4.3.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x^{2}}$

단계 2.4.3.3

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.3.3.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}$

단계 2.4.3.3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}$

단계 2.4.3.3.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{x}$

단계 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $\frac{1}{x}$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $\frac{1}{x}$ 을 대입합니다.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$

단계 3.2

양변이 동일함을 보였으므로, 이 방정식은 항등식입니다.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$ 은 항등식입니다.

단계 4

집합 $f (x, y)$ 을 $M (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int \frac{y}{x} d x$

단계 5

$M (x, y) = \frac{y}{x}$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$y$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $y$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = y \int \frac{1}{x} d x$

단계 5.2

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$f (x, y) = y (\ln (| x |) + C)$

단계 5.3

간단히 합니다.

$f (x, y) = y \ln (| x |) + C$

단계 6

$g (y)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (y)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = y \ln (| x |) + g (y)$

단계 7

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial y} = y^{2} + \ln (| x |)$

단계 8

$y$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [y \ln (| x |) + g (y)] = y^{2} + \ln (| x |)$

단계 9

$\frac{d g}{d y}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$\frac{d g}{d y}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

다시 씁니다.

$\frac{y}{x} d x + (y^{2} + \ln (| x |)) d y = 0$

단계 9.1.2

$M (x, y) = \frac{y}{x}$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.2.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

단계 9.1.2.2

$\frac{1}{x}$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $\frac{y}{x}$ 의 미분은 $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

단계 9.1.2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \cdot 1$

단계 9.1.2.4

$\frac{1}{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}$

단계 9.1.3

$N (x, y) = y^{2} + \ln (| x |)$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.3.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2} + \ln (| x |)]$

단계 9.1.3.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.3.2.1

합의 법칙에 의해 $y^{2} + \ln (| x |)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$

단계 9.1.3.2.2

$y^{2}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y^{2}$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$

단계 9.1.3.3

$\frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.3.3.1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = | x |$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.3.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $| x |$ 로 바꿉니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [| x |]$

단계 9.1.3.3.1.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [| x |]$

단계 9.1.3.3.1.3

$u$ 를 모두 $| x |$ 로 바꿉니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{| x |} \frac{d}{d x} [| x |]$

단계 9.1.3.3.2

$| x |$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{x}{| x |}$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{| x |} \cdot \frac{x}{| x |}$

단계 9.1.3.3.3

$\frac{1}{| x |}$ 에 $\frac{x}{| x |}$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x | | x |}$

단계 9.1.3.3.4

절댓값을 곱하려면 각 절댓값 내부의 항을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x \cdot x |}$

단계 9.1.3.3.5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1} x |}$

단계 9.1.3.3.6

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1} x^{1} |}$

단계 9.1.3.3.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1 + 1} |}$

단계 9.1.3.3.8

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{2} |}$

단계 9.1.3.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.3.4.1

$0$ 를 $\frac{x}{| x^{2} |}$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{| x^{2} |}$

단계 9.1.3.4.2

절댓값에서 음이 아닌 항을 제거합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{x^{2}}$

단계 9.1.3.4.3

$x$ 및 $x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.3.4.3.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x^{1}}{x^{2}}$

단계 9.1.3.4.3.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x^{2}}$

단계 9.1.3.4.3.3

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.3.4.3.3.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}$

단계 9.1.3.4.3.3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}$

단계 9.1.3.4.3.3.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{x}$

단계 9.1.4

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.4.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $\frac{1}{x}$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $\frac{1}{x}$ 을 대입합니다.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$

단계 9.1.4.2

양변이 동일함을 보였으므로, 이 방정식은 항등식입니다.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$ 은 항등식입니다.

단계 9.1.5

집합 $f (x, y)$ 을 $M (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int \frac{y}{x} d x$

단계 9.1.6

$M (x, y) = \frac{y}{x}$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.6.1

$y$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $y$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = y \int \frac{1}{x} d x$

단계 9.1.6.2

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$f (x, y) = y (\ln (| x |) + C)$

단계 9.1.6.3

간단히 합니다.

$f (x, y) = y \ln (| x |) + C$

단계 9.1.7

$g (y)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (y)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = y \ln (| x |) + g (y)$

단계 9.1.8

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial y} = y^{2} + \ln (| x |)$

단계 9.1.9

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.9.1

$\frac{d}{d y} \cdot (y \ln (| x |) + g (y))$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.9.1.1

$d$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.9.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{d}{d y} \cdot (y \ln (| x |) + g (y)) = y^{2} + \ln (| x |)$

단계 9.1.9.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} \cdot (y \ln (| x |) + g (y)) = y^{2} + \ln (| x |)$

단계 9.1.9.1.2

$\frac{1}{y}$ 에 $y \ln (| x |) + g y$ 을 곱합니다.

$\frac{y \ln (| x |) + g y}{y} = y^{2} + \ln (| x |)$

단계 9.1.9.1.3

$y \ln (| x |) + g y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.9.1.3.1

$y \ln (| x |)$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y \ln (| x |) + g y}{y} = y^{2} + \ln (| x |)$

단계 9.1.9.1.3.2

$g y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y \ln (| x |) + y g}{y} = y^{2} + \ln (| x |)$

단계 9.1.9.1.3.3

$y \ln (| x |) + y g$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y (\ln (| x |) + g)}{y} = y^{2} + \ln (| x |)$

단계 9.1.9.1.4

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.9.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y (\ln (| x |) + g)}{y} = y^{2} + \ln (| x |)$

단계 9.1.9.1.4.2

$\ln (| x |) + g$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\ln (| x |) + g = y^{2} + \ln (| x |)$

단계 9.1.10

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$\ln (| x |) - \ln (| x |) = - g + y^{2}$

단계 9.1.11

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$\ln (\frac{| x |}{| x |}) = - g + y^{2}$

단계 9.1.12

$| x |$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.12.1

공약수로 약분합니다.

$\ln (\frac{| x |}{| x |}) = - g + y^{2}$

단계 9.1.12.2

수식을 다시 씁니다.

$\ln (1) = - g + y^{2}$

단계 9.1.13

$1$ 의 자연로그값은 $0$ 입니다.

$0 = - g + y^{2}$

단계 10

$- g + y^{2}$ 의 역도함수를 구하여 $g (y)$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$0 = - g + y^{2}$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int 0 d y = \int - g + y^{2} d y$

단계 10.2

$\int 0 d y$ 의 값을 구합니다.

$g (y) = \int - g + y^{2} d y$

단계 10.3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$g (y) = \int - g d y + \int y^{2} d y$

단계 10.4

상수 규칙을 적용합니다.

$g (y) = - g y + C + \int y^{2} d y$

단계 10.5

멱의 법칙에 의해 $y^{2}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} y^{3}$ 가 됩니다.

$g (y) = - g y + C + \frac{1}{3} y^{3} + C$

단계 10.6

간단히 합니다.

$g (y) = - g y + \frac{1}{3} y^{3} + C$

단계 11

$f (x, y) = y \ln (| x |) + g (y)$ 에서 $g (y)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = y \ln (| x |) - g y + \frac{1}{3} y^{3} + C$

단계 12

$\frac{1}{3}$ 와 $y^{3}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = y \ln (| x |) - g y + \frac{y^{3}}{3} + C$