미적분 예제

$2 x y + (1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} = 0$ , $y (0) = 1$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$\frac{d y}{d x}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 x y + 1 \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{d y}{d x} = 0$

단계 1.1.1.2

$\frac{d y}{d x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 x y + \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{d y}{d x} = 0$

단계 1.1.2

방정식의 양변에서 $2 x y$ 를 뺍니다.

$\frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{d y}{d x} = - 2 x y$

단계 1.1.3

$\frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{d y}{d x}$ 에서 $\frac{d y}{d x}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

${(\frac{d y}{d x})}^{1}$ 에서 $\frac{d y}{d x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} \cdot 1 + x^{2} \frac{d y}{d x} = - 2 x y$

단계 1.1.3.2

$x^{2} \frac{d y}{d x}$ 에서 $\frac{d y}{d x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} \cdot 1 + \frac{d y}{d x} x^{2} = - 2 x y$

단계 1.1.3.3

$\frac{d y}{d x} \cdot 1 + \frac{d y}{d x} x^{2}$ 에서 $\frac{d y}{d x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} (1 + x^{2}) = - 2 x y$

단계 1.1.4

$\frac{d y}{d x} (1 + x^{2}) = - 2 x y$ 의 각 항을 $1 + x^{2}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.1

$\frac{d y}{d x} (1 + x^{2}) = - 2 x y$ 의 각 항을 $1 + x^{2}$ 로 나눕니다.

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{- 2 x y}{1 + x^{2}}$

단계 1.1.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.2.1

$1 + x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{- 2 x y}{1 + x^{2}}$

단계 1.1.4.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x y}{1 + x^{2}}$

단계 1.1.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y}{1 + x^{2}}$

단계 1.2

인수를 다시 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{1 + x^{2}} y$

단계 1.3

양변에 $\frac{1}{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{1 + x^{2}} y)$

단계 1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y} (\frac{2 x}{1 + x^{2}} y)$

단계 1.4.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.1

$- \frac{1}{y}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (\frac{2 x}{1 + x^{2}} y)$

단계 1.4.2.2

$\frac{2 x}{1 + x^{2}} y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y \frac{2 x}{1 + x^{2}})$

단계 1.4.2.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y \frac{2 x}{1 + x^{2}})$

단계 1.4.2.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{1 + x^{2}}$

단계 1.5

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

단계 2.2

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

단계 2.3.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (2 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x)$

단계 2.3.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

단계 2.3.4

먼저 $u = 1 + x^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 x d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.4.1

$u = 1 + x^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.4.1.1

$1 + x^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

단계 2.3.4.1.2

합의 법칙에 의해 $1 + x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.3.4.1.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.3.4.1.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 2 x$

단계 2.3.4.1.5

$0$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$2 x$

단계 2.3.4.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

단계 2.3.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1

$\frac{1}{u}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

단계 2.3.5.2

$u$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

단계 2.3.6

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

단계 2.3.7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.1

$\frac{1}{2}$ 와 $- 2$ 을 묶습니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

단계 2.3.7.2

$- 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.2.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

단계 2.3.7.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

단계 2.3.7.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

단계 2.3.7.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u$

단계 2.3.7.2.2.4

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u} d u$

단계 2.3.8

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| u |) + C_{2})$

단계 2.3.9

간단히 합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| u |) + C_{2}$

단계 2.3.10

$u$ 를 모두 $1 + x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\ln (| y |) = - \ln (| 1 + x^{2} |) + C$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$\ln (| y |) + \ln (| 1 + x^{2} |) = C$

단계 3.2

로그의 곱의 성질 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 를 사용합니다.

$\ln (| y | | 1 + x^{2} |) = C$

단계 3.3

절댓값을 곱하려면 각 절댓값 내부의 항을 곱합니다.

$\ln (| y (1 + x^{2}) |) = C$

단계 3.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\ln (| y \cdot 1 + y x^{2} |) = C$

단계 3.5

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\ln (| y + y x^{2} |) = C$

단계 3.6

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (| y + y x^{2} |)} = e^{C}$

단계 3.7

로그의 정의를 이용하여 $\ln (| y + y x^{2} |) = C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{C} = | y + y x^{2} |$

단계 3.8

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.1

$| y + y x^{2} | = e^{C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$| y + y x^{2} | = e^{C}$

단계 3.8.2

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$y + y x^{2} = \pm e^{C}$

단계 3.8.3

$y + y x^{2}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.3.1

$y^{1}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y \cdot 1 + y x^{2} = \pm e^{C}$

단계 3.8.3.2

$y x^{2}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y \cdot 1 + y (x^{2}) = \pm e^{C}$

단계 3.8.3.3

$y \cdot 1 + y (x^{2})$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y (1 + x^{2}) = \pm e^{C}$

단계 3.8.4

$y (1 + x^{2}) = \pm e^{C}$ 의 각 항을 $1 + x^{2}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.4.1

$y (1 + x^{2}) = \pm e^{C}$ 의 각 항을 $1 + x^{2}$ 로 나눕니다.

$\frac{y (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{\pm e^{C}}{1 + x^{2}}$

단계 3.8.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.4.2.1

$1 + x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{\pm e^{C}}{1 + x^{2}}$

단계 3.8.4.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\pm e^{C}}{1 + x^{2}}$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \frac{C}{1 + x^{2}}$

단계 5

초기 조건을 활용하여 $y = \frac{C}{1 + x^{2}}$ 에서 $x$ 에 $0$ 을, $y$ 에 $1$ 를 대입하여 $C$ 값을 구합니다.

$1 = \frac{C}{1 + 0^{2}}$

단계 6

$C$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$\frac{C}{1 + 0^{2}} = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{C}{1 + 0^{2}} = 1$

단계 6.2

방정식의 양변에 $1 + 0^{2}$ 을 곱합니다.

$(1 + 0^{2}) \frac{C}{1 + 0^{2}} = (1 + 0^{2}) \cdot 1$

단계 6.3

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1.1

$(1 + 0^{2}) \frac{C}{1 + 0^{2}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1.1.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1.1.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$(1 + 0^{2}) \frac{C}{1 + 0} = (1 + 0^{2}) \cdot 1$

단계 6.3.1.1.1.2

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(1 + 0^{2}) \frac{C}{1} = (1 + 0^{2}) \cdot 1$

단계 6.3.1.1.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1.1.2.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$(1 + 0) \frac{C}{1} = (1 + 0^{2}) \cdot 1$

단계 6.3.1.1.2.2

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1 \frac{C}{1} = (1 + 0^{2}) \cdot 1$

단계 6.3.1.1.2.3

$\frac{C}{1}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{C}{1} = (1 + 0^{2}) \cdot 1$

단계 6.3.1.1.2.4

$C$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$C = (1 + 0^{2}) \cdot 1$

단계 6.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1

$(1 + 0^{2}) \cdot 1$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$C = (1 + 0) \cdot 1$

단계 6.3.2.1.2

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$C = 1 \cdot 1$

단계 6.3.2.1.3

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$C = 1$

단계 7

$y = \frac{C}{1 + x^{2}}$ 의 $C$ 에 $1$ 를 대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$C$ 에 $1$ 를 대입합니다.

$y = \frac{1}{1 + x^{2}}$