미적분 예제

$(y^{2} + 1) d x + x^{2} y^{2} d y = 0$

단계 1

방정식의 양변에서 $(y^{2} + 1) d x$ 를 뺍니다.

$x^{2} y^{2} d y = - (y^{2} + 1) d x$

단계 2

양변에 $\frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$x^{2} y^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (x^{2} (y^{2})) d y = \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

단계 3.1.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

단계 3.1.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y^{2} + 1} y^{2} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

단계 3.2

$\frac{1}{y^{2} + 1}$ 와 $y^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

단계 3.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = - \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (y^{2} + 1) d x$

단계 3.4

$y^{2} + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$- \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (y^{2} + 1) d x$

단계 3.4.2

$x^{2} (y^{2} + 1)$ 에서 $y^{2} + 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{(y^{2} + 1) x^{2}} (y^{2} + 1) d x$

단계 3.4.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{(y^{2} + 1) x^{2}} (y^{2} + 1) d x$

단계 3.4.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{x^{2}} d x$

단계 3.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = - \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 4

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 4.2

좌변을 적분합니다.

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단계 4.2.1

$y^{2}$ 을 $y^{2} + 1$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$y^{2}$

$0 y$

$1$

$y^{2}$

$0 y$

$0$

단계 4.2.1.2

피제수 $y^{2}$ 의 고차항을 제수 $y^{2}$ 의 고차항으로 나눕니다.

							$1$
	$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$

단계 4.2.1.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

						$1$
$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
					+	$y^{2}$	+	$0$	+	$1$

단계 4.2.1.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $y^{2} + 0 + 1$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

						$1$
$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
					-	$y^{2}$	-	$0$	-	$1$

단계 4.2.1.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

						$1$
$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
					-	$y^{2}$	-	$0$	-	$1$
									-	$1$

단계 4.2.1.6

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$\int 1 - \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 4.2.2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int d y + \int - \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 4.2.3

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} + \int - \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 4.2.4

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} - \int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 4.2.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.5.1

$y^{2}$ 와 $1$ 을 다시 정렬합니다.

$y + C_{1} - \int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 4.2.5.2

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y + C_{1} - \int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 4.2.6

$\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\arctan (y) + C_{2}$ 입니다.

$y + C_{1} - (\arctan (y) + C_{2}) = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 4.2.7

간단히 합니다.

$y - \arctan (y) + C_{3} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 4.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y - \arctan (y) + C_{3} = - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 4.3.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

$x^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$y - \arctan (y) + C_{3} = - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

단계 4.3.2.2

${(x^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y - \arctan (y) + C_{3} = - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

단계 4.3.2.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y - \arctan (y) + C_{3} = - \int x^{- 2} d x$

단계 4.3.3

멱의 법칙에 의해 $x^{- 2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- x^{- 1}$ 가 됩니다.

$y - \arctan (y) + C_{3} = - (- x^{- 1} + C_{4})$

단계 4.3.4

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.4.1

$- (- x^{- 1} + C_{4})$ 을 $- - \frac{1}{x} + C_{4}$ 로 바꿔 씁니다.

$y - \arctan (y) + C_{3} = - - \frac{1}{x} + C_{4}$

단계 4.3.4.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.4.2.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y - \arctan (y) + C_{3} = 1 \frac{1}{x} + C_{4}$

단계 4.3.4.2.2

$\frac{1}{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y - \arctan (y) + C_{3} = \frac{1}{x} + C_{4}$

단계 4.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$y - \arctan (y) = \frac{1}{x} + K$