미적분 예제

$y = x^{\ln (x)}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x^{\ln (x)})$

단계 2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$f = x$ , $g = \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f^{g}]$ 는 $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ 이라는 일반적인 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [x] (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{d}{d y} [\ln (x)] (x^{\ln (x)} \ln (x))$

단계 3.2

$\frac{d}{d y} [x]$ 을 $x'$ 로 바꿔 씁니다.

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{d}{d y} [\ln (x)] (x^{\ln (x)} \ln (x))$

단계 3.3

$f (y) = \ln (y)$ , $g (y) = x$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 는 $f' (g (y)) g' (y)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x$ 로 바꿉니다.

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [x] (x^{\ln (x)} \ln (x))$

단계 3.3.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{1}{u} \frac{d}{d y} [x] (x^{\ln (x)} \ln (x))$

단계 3.3.3

$u$ 를 모두 $x$ 로 바꿉니다.

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [x] (x^{\ln (x)} \ln (x))$

단계 3.4

항을 간단히 합니다.

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단계 3.4.1

$x^{\ln (x)}$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{x^{\ln (x)}}{x} \frac{d}{d y} [x] \ln (x)$

단계 3.4.2

$\ln (x)$ 와 $\frac{x^{\ln (x)}}{x}$ 을 묶습니다.

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{\ln (x) x^{\ln (x)}}{x} \frac{d}{d y} [x]$

단계 3.4.3

$x^{\ln (x)}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1

$\ln (x) x^{\ln (x)}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{x (\ln (x) x^{\ln (x) - 1})}{x} \frac{d}{d y} [x]$

단계 3.4.3.2

공약수로 약분합니다.

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단계 3.4.3.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{x (\ln (x) x^{\ln (x) - 1})}{x^{1}} \frac{d}{d y} [x]$

단계 3.4.3.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{x (\ln (x) x^{\ln (x) - 1})}{x \cdot 1} \frac{d}{d y} [x]$

단계 3.4.3.2.3

공약수로 약분합니다.

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{x (\ln (x) x^{\ln (x) - 1})}{x \cdot 1} \frac{d}{d y} [x]$

단계 3.4.3.2.4

수식을 다시 씁니다.

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{\ln (x) x^{\ln (x) - 1}}{1} \frac{d}{d y} [x]$

단계 3.4.3.2.5

$\ln (x) x^{\ln (x) - 1}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \ln (x) x^{\ln (x) - 1} \frac{d}{d y} [x]$

단계 3.5

$\frac{d}{d y} [x]$ 을 $x'$ 로 바꿔 씁니다.

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \ln (x) x^{\ln (x) - 1} x'$

단계 3.6

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1})$ 인수를 다시 정렬합니다.

$x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x' + \ln (x) x^{\ln (x) - 1} x'$

단계 3.7

$x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x'$ 를 $\ln (x) x^{\ln (x) - 1} x'$ 에 더합니다.

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단계 3.7.1

$\ln (x)$ 와 $x^{\ln (x) - 1}$ 을 다시 정렬합니다.

$x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x' + x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x'$

단계 3.7.2

$x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x'$ 를 $x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x'$ 에 더합니다.

$2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x'$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$1 = 2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x'$

단계 5

$x'$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

$2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x' = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x' = 1$

단계 5.2

$2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x' = 1$ 의 각 항을 $2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

$2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x' = 1$ 의 각 항을 $2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x'}{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)} = \frac{1}{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)}$

단계 5.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x'}{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)} = \frac{1}{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)}$

단계 5.2.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x'}{x^{\ln (x) - 1} \ln (x)} = \frac{1}{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)}$

단계 5.2.2.2

$x^{\ln (x) - 1}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x'}{x^{\ln (x) - 1} \ln (x)} = \frac{1}{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)}$

단계 5.2.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\ln (x) x'}{\ln (x)} = \frac{1}{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)}$

단계 5.2.2.3

$\ln (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\ln (x) x'}{\ln (x)} = \frac{1}{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)}$

단계 5.2.2.3.2

$x'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x' = \frac{1}{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)}$

단계 5.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1

$\frac{1}{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$x' = \frac{1}{2 \ln (x) x^{\ln (x) - 1}}$

단계 6

$x'$ 에 $\frac{d x}{d y}$ 를 대입합니다.

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 \ln (x) x^{\ln (x) - 1}}$