미적분 예제

$y = {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}$

단계 1

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}]$

단계 1.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}]$

단계 2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}]$

단계 3

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}]$

단계 4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}]$

단계 5

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}]$

단계 5.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}]$

단계 6

미분합니다.

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단계 6.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}]$

단계 6.2

분수를 통분합니다.

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단계 6.2.1

$\frac{1}{2}$ 와 ${(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{{(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}]$

단계 6.2.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}]$

단계 6.3

합의 법칙에 의해 $\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

단계 6.4

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{2}{x}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 입니다.

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

단계 6.5

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

단계 6.6

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (2 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

단계 6.7

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

단계 7

$f (x) = - 1$ , $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x^{- 2} - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 8

미분합니다.

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단계 8.1

$\frac{1}{x^{2}}$ 을 ${(x^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x^{- 2} - \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 8.2

${(x^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 8.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x^{- 2} - \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 8.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x^{- 2} - \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 8.3

$n = - 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x^{- 2} - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 8.4

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x^{- 2} + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 8.5

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x^{- 2} + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0)$

단계 8.6

식을 간단히 합니다.

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단계 8.6.1

$\frac{1}{x^{2}}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x^{- 2} + 2 x^{- 3} + 0)$

단계 8.6.2

$- 2 x^{- 2} + 2 x^{- 3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x^{- 2} + 2 x^{- 3})$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 \frac{1}{x^{2}} + 2 x^{- 3})$

단계 9.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 \frac{1}{x^{2}} + 2 \frac{1}{x^{3}})$

단계 9.3

항을 묶습니다.

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단계 9.3.1

$- 2$ 와 $\frac{1}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{- 2}{x^{2}} + 2 \frac{1}{x^{3}})$

단계 9.3.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{2}{x^{2}} + 2 \frac{1}{x^{3}})$

단계 9.3.3

$2$ 와 $\frac{1}{x^{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}})$

단계 9.4

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}})$ 인수를 다시 정렬합니다.

$(- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) \frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 9.5

분모를 간단히 합니다.

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단계 9.5.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{2}{x}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$(- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) \frac{1}{2 {(\frac{2}{x} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 9.5.2

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $x^{2}$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 9.5.2.1

$\frac{2}{x}$ 에 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$(- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) \frac{1}{2 {(\frac{2 x}{x \cdot x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 9.5.2.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$(- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) \frac{1}{2 {(\frac{2 x}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 9.5.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$(- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) \frac{1}{2 {(\frac{2 x - 1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 9.5.4

$\frac{2 x - 1}{x^{2}}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$(- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) \frac{1}{2 \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}$

단계 9.5.5

분모를 간단히 합니다.

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단계 9.5.5.1

${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 9.5.5.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$(- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) \frac{1}{2 \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2 (\frac{1}{2})}}}$

단계 9.5.5.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 9.5.5.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$(- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) \frac{1}{2 \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2 (\frac{1}{2})}}}$

단계 9.5.5.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$(- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) \frac{1}{2 \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{1}}}$

단계 9.5.5.2

간단히 합니다.

$(- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) \frac{1}{2 \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{x}}$

단계 9.6

$2$ 와 $\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{x}$ 을 묶습니다.

$(- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) \frac{1}{\frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{x}}$

단계 9.7

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$(- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) (1 \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

단계 9.8

$\frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 9.9

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}$ 에 $\frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{(- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 9.10

분자를 간단히 합니다.

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단계 9.10.1

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{2}{x^{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{(- \frac{2}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x} + \frac{2}{x^{3}}) x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 9.10.2

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $x^{3}$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 9.10.2.1

$\frac{2}{x^{2}}$ 에 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{(- \frac{2 x}{x^{2} x} + \frac{2}{x^{3}}) x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 9.10.2.2

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 9.10.2.2.1

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 9.10.2.2.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{(- \frac{2 x}{x^{2} x^{1}} + \frac{2}{x^{3}}) x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 9.10.2.2.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{(- \frac{2 x}{x^{2 + 1}} + \frac{2}{x^{3}}) x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 9.10.2.2.2

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{(- \frac{2 x}{x^{3}} + \frac{2}{x^{3}}) x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 9.10.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{- 2 x + 2}{x^{3}} x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 9.10.4

$- 2 x + 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

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단계 9.10.4.1

$- 2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{2 (- x) + 2}{x^{3}} x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 9.10.4.2

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{2 (- x) + 2 (1)}{x^{3}} x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 9.10.4.3

$2 (- x) + 2 (1)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{2 (- x + 1)}{x^{3}} x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 9.11

$\frac{2 (- x + 1)}{x^{3}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{2 (- x + 1) x}{x^{3}}}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 9.12

공약수를 소거하여 수식 $\frac{2 (- x + 1) x}{x^{3}}$ 을 간단히 정리합니다.

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단계 9.12.1

$2 (- x + 1) x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{x (2 (- x + 1))}{x^{3}}}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 9.12.2

$x^{3}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{x (2 (- x + 1))}{x \cdot x^{2}}}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 9.12.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{x (2 (- x + 1))}{x \cdot x^{2}}}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 9.12.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\frac{2 (- x + 1)}{x^{2}}}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 9.13

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{2 (- x + 1)}{x^{2}} \cdot \frac{1}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 9.14

조합합니다.

$\frac{2 (- x + 1) \cdot 1}{x^{2} (2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

단계 9.15

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (- x + 1) \cdot 1}{x^{2} (2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

단계 9.16

수식을 다시 씁니다.

$\frac{(- x + 1) \cdot 1}{x^{2} ({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

단계 9.17

$- x + 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- x + 1}{x^{2} ({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

단계 9.18

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x) + 1}{x^{2} ({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

단계 9.19

$1$ 을 $- 1 (- 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- (x) - 1 (- 1)}{x^{2} ({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

단계 9.20

$- (x) - 1 (- 1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x - 1)}{x^{2} ({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

단계 9.21

$- (x - 1)$ 을 $- 1 (x - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (x - 1)}{x^{2} ({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

단계 9.22

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{x - 1}{x^{2} ({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}$