미적분 예제

$\int \frac{1}{u \sqrt{3 - u^{2}}} d u$

단계 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 일 때 $u = \sqrt{3} \sin (t)$ 라고 하면 $d u = \sqrt{3} \cos (t) d t$ 입니다. $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 이므로 $\sqrt{3} \cos (t)$ 는 양수입니다.

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} - {(\sqrt{3} \sin (t))}^{2}}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

단계 2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\sqrt{{\sqrt{3}}^{2} - {(\sqrt{3} \sin (t))}^{2}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$\sqrt{3} \sin (t)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} - ({\sqrt{3}}^{2} \sin^{2} (t))}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

단계 2.1.2

$1$ 을 곱합니다.

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} \cdot 1 - ({\sqrt{3}}^{2} \sin^{2} (t))}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

단계 2.1.3

$- ({\sqrt{3}}^{2} \sin^{2} (t))$ 에서 ${\sqrt{3}}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} \cdot 1 + {\sqrt{3}}^{2} (- (\sin^{2} (t)))}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

단계 2.1.4

${\sqrt{3}}^{2} \cdot 1 + {\sqrt{3}}^{2} (- (\sin^{2} (t)))$ 에서 ${\sqrt{3}}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} \cdot (1 - (\sin^{2} (t)))}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

단계 2.1.5

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

단계 2.1.6

${\sqrt{3}}^{2}$ 을 $3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{3}$ 을(를) $3^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

단계 2.1.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

단계 2.1.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{3^{\frac{2}{2}} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

단계 2.1.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{3^{\frac{2}{2}} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

단계 2.1.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{3^{1} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

단계 2.1.6.5

지수값을 계산합니다.

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{3 \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{3 \cos^{2} (t)}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

단계 2.1.7

$3$ 와 $\cos^{2} (t)$ 을 다시 정렬합니다.

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{\cos^{2} (t) \cdot 3}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

단계 2.1.8

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) (\cos (t) \sqrt{3})} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

단계 2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$\sqrt{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int \frac{1}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

단계 2.2.2

$\sqrt{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int \frac{1}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

단계 2.2.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int \frac{1}{{\sqrt{3}}^{1 + 1} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

단계 2.2.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int \frac{1}{{\sqrt{3}}^{2} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

단계 2.2.5

${\sqrt{3}}^{2}$ 을 $3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{3}$ 을(를) $3^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int \frac{1}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

단계 2.2.5.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int \frac{1}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

단계 2.2.5.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\int \frac{1}{3^{\frac{2}{2}} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

단계 2.2.5.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.4.1

공약수로 약분합니다.

$\int \frac{1}{3^{\frac{2}{2}} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

단계 2.2.5.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\int \frac{1}{3^{1} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

단계 2.2.5.5

지수값을 계산합니다.

$\int \frac{1}{3 \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

단계 2.2.6

$\sqrt{3}$ 와 $\frac{1}{3 \sin (t) \cos (t)}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{\sqrt{3}}{3 \sin (t) \cos (t)} \cos (t) d t$

단계 2.2.7

$\frac{\sqrt{3}}{3 \sin (t) \cos (t)}$ 와 $\cos (t)$ 을 묶습니다.

$\int \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{3 \sin (t) \cos (t)} d t$

단계 2.2.8

$\cos (t)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.8.1

공약수로 약분합니다.

$\int \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{3 \sin (t) \cos (t)} d t$

단계 2.2.8.2

수식을 다시 씁니다.

$\int \frac{\sqrt{3}}{3 \sin (t)} d t$

단계 3

$\frac{\sqrt{3}}{3}$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{\sqrt{3}}{3} \int \frac{1}{\sin (t)} d t$

단계 4

$\frac{1}{\sin (t)}$ 을 $\csc (t)$ 로 변환합니다.

$\frac{\sqrt{3}}{3} \int \csc (t) d t$

단계 5

$\csc (t)$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ 입니다.

$\frac{\sqrt{3}}{3} (\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C)$

단계 6

간단히 합니다.

$\frac{\sqrt{3}}{3} \ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

단계 7

$t$ 를 모두 $\arcsin (\frac{u}{\sqrt{3}})$ 로 바꿉니다.

$\frac{\sqrt{3}}{3} \ln (| \csc (\arcsin (\frac{u}{\sqrt{3}})) - \cot (\arcsin (\frac{u}{\sqrt{3}})) |) + C$

단계 8

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{\sqrt{3}}{3} \ln (| \csc (\arcsin (\frac{1}{\sqrt{3}} u)) - \cot (\arcsin (\frac{1}{\sqrt{3}} u)) |) + C$