미적분 예제

$y = \ln (3 x^{2} + 3 x + 6)$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = 3 x^{2} + 3 x + 6$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $3 x^{2} + 3 x + 6$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 3 x + 6]$

단계 1.1.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 3 x + 6]$

단계 1.1.3

$u$ 를 모두 $3 x^{2} + 3 x + 6$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{3 x^{2} + 3 x + 6} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 3 x + 6]$

단계 1.2

미분합니다.

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단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $3 x^{2} + 3 x + 6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [6]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3 x^{2} + 3 x + 6} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [6])$

단계 1.2.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{2}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{1}{3 x^{2} + 3 x + 6} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [6])$

단계 1.2.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3 x^{2} + 3 x + 6} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [6])$

단계 1.2.4

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3 x^{2} + 3 x + 6} (6 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [6])$

단계 1.2.5

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{3 x^{2} + 3 x + 6} (6 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])$

단계 1.2.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3 x^{2} + 3 x + 6} (6 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6])$

단계 1.2.7

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3 x^{2} + 3 x + 6} (6 x + 3 + \frac{d}{d x} [6])$

단계 1.2.8

$6$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $6$ 입니다.

$\frac{1}{3 x^{2} + 3 x + 6} (6 x + 3 + 0)$

단계 1.2.9

$6 x + 3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{3 x^{2} + 3 x + 6} (6 x + 3)$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

$\frac{1}{3 x^{2} + 3 x + 6} (6 x + 3)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$(6 x + 3) \frac{1}{3 x^{2} + 3 x + 6}$

단계 1.3.2

$3 x^{2} + 3 x + 6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.3.2.1

$3 x^{2}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$(6 x + 3) \frac{1}{3 (x^{2}) + 3 x + 6}$

단계 1.3.2.2

$3 x$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$(6 x + 3) \frac{1}{3 (x^{2}) + 3 (x) + 6}$

단계 1.3.2.3

$6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$(6 x + 3) \frac{1}{3 (x^{2}) + 3 x + 3 \cdot 2}$

단계 1.3.2.4

$3 (x^{2}) + 3 x$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$(6 x + 3) \frac{1}{3 (x^{2} + x) + 3 \cdot 2}$

단계 1.3.2.5

$3 (x^{2} + x) + 3 \cdot 2$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$(6 x + 3) \frac{1}{3 (x^{2} + x + 2)}$

단계 1.3.3

$6 x + 3$ 에 $\frac{1}{3 (x^{2} + x + 2)}$ 을 곱합니다.

$\frac{6 x + 3}{3 (x^{2} + x + 2)}$

단계 1.3.4

$6 x + 3$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.3.4.1

$6 x$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (2 x) + 3}{3 (x^{2} + x + 2)}$

단계 1.3.4.2

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (2 x) + 3 \cdot 1}{3 (x^{2} + x + 2)}$

단계 1.3.4.3

$3 (2 x) + 3 (1)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (2 x + 1)}{3 (x^{2} + x + 2)}$

단계 1.3.4.4

공약수로 약분합니다.

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단계 1.3.4.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 (2 x + 1)}{3 (x^{2} + x + 2)}$

단계 1.3.4.4.2

수식을 다시 씁니다.

$f' (x) = \frac{2 x + 1}{x^{2} + x + 2}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

$f (x) = 2 x + 1$ , $g (x) = x^{2} + x + 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} + x + 2) \frac{d}{d x} [2 x + 1] - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 2]}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

단계 2.2

미분합니다.

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단계 2.2.1

합의 법칙에 의해 $2 x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{(x^{2} + x + 2) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 2]}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

단계 2.2.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{(x^{2} + x + 2) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 2]}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

단계 2.2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} + x + 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 2]}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

단계 2.2.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(x^{2} + x + 2) (2 + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 2]}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

단계 2.2.5

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{(x^{2} + x + 2) (2 + 0) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 2]}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

단계 2.2.6

식을 간단히 합니다.

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단계 2.2.6.1

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(x^{2} + x + 2) \cdot 2 - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 2]}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

단계 2.2.6.2

$x^{2} + x + 2$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 \cdot (x^{2} + x + 2) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 2]}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

단계 2.2.7

합의 법칙에 의해 $x^{2} + x + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$\frac{2 (x^{2} + x + 2) - (2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

단계 2.2.8

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 (x^{2} + x + 2) - (2 x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

단계 2.2.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 (x^{2} + x + 2) - (2 x + 1) (2 x + 1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

단계 2.2.10

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$\frac{2 (x^{2} + x + 2) - (2 x + 1) (2 x + 1 + 0)}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

단계 2.2.11

$2 x + 1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2 (x^{2} + x + 2) - (2 x + 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

단계 2.3

$2 x + 1$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 (x^{2} + x + 2) - ({(2 x + 1)}^{1} (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

단계 2.4

$2 x + 1$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 (x^{2} + x + 2) - ({(2 x + 1)}^{1} {(2 x + 1)}^{1})}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

단계 2.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 (x^{2} + x + 2) - {(2 x + 1)}^{1 + 1}}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

단계 2.6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{2 (x^{2} + x + 2) - {(2 x + 1)}^{2}}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

단계 2.7

간단히 합니다.

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단계 2.7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot 2 - {(2 x + 1)}^{2}}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

단계 2.7.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.7.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.7.2.1.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - {(2 x + 1)}^{2}}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

단계 2.7.2.1.2

${(2 x + 1)}^{2}$ 을 $(2 x + 1) (2 x + 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - ((2 x + 1) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

단계 2.7.2.1.3

FOIL 계산법을 이용하여 $(2 x + 1) (2 x + 1)$ 를 전개합니다.

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단계 2.7.2.1.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - (2 x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

단계 2.7.2.1.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - (2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

단계 2.7.2.1.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - (2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

단계 2.7.2.1.4

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 2.7.2.1.4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.7.2.1.4.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

단계 2.7.2.1.4.1.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 2.7.2.1.4.1.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

단계 2.7.2.1.4.1.2.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

단계 2.7.2.1.4.1.3

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - (4 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

단계 2.7.2.1.4.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - (4 x^{2} + 2 x + 1 (2 x) + 1 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

단계 2.7.2.1.4.1.5

$2 x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - (4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

단계 2.7.2.1.4.1.6

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - (4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

단계 2.7.2.1.4.2

$2 x$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - (4 x^{2} + 4 x + 1)}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

단계 2.7.2.1.5

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - (4 x^{2}) - (4 x) - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

단계 2.7.2.1.6

간단히 합니다.

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단계 2.7.2.1.6.1

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - 4 x^{2} - (4 x) - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

단계 2.7.2.1.6.2

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - 4 x^{2} - 4 x - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

단계 2.7.2.1.6.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - 4 x^{2} - 4 x - 1}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

단계 2.7.2.2

$2 x^{2}$ 에서 $4 x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x + 4 - 4 x - 1}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

단계 2.7.2.3

$2 x$ 에서 $4 x$ 을 뺍니다.

$\frac{- 2 x^{2} - 2 x + 4 - 1}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

단계 2.7.2.4

$4$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{- 2 x^{2} - 2 x + 3}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

단계 2.7.3

$- 2 x^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (2 x^{2}) - 2 x + 3}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

단계 2.7.4

$- 2 x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (2 x^{2}) - (2 x) + 3}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

단계 2.7.5

$- (2 x^{2}) - (2 x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (2 x^{2} + 2 x) + 3}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

단계 2.7.6

$3$ 을 $- 1 (- 3)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- (2 x^{2} + 2 x) - 1 (- 3)}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

단계 2.7.7

$- (2 x^{2} + 2 x) - 1 (- 3)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (2 x^{2} + 2 x - 3)}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

단계 2.7.8

$- (2 x^{2} + 2 x - 3)$ 을 $- 1 (2 x^{2} + 2 x - 3)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (2 x^{2} + 2 x - 3)}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

단계 2.7.9

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} + 2 x - 3}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$