미적분 예제

$\int_{1}^{\infty} \frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}} d x$

단계 1

$t$ 이 $\infty$ 에 가까워짐에 따라 적분을 극한값으로 씁니다.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}} d x$

단계 2

먼저 $u = - \frac{1}{x}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \frac{1}{x^{2}} d x$ 이므로 $x^{2} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$u = - \frac{1}{x}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$- \frac{1}{x}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

단계 2.1.2

$f (x) = - 1$ , $g (x) = \frac{1}{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.1.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.1.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.1.3.3

곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.1.3.3.2

$x^{- 2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.1.3.4

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

단계 2.1.3.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.5.1

$\frac{1}{x}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$x^{- 2} + 0$

단계 2.1.3.5.2

$x^{- 2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x^{- 2}$

단계 2.1.4

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{x^{2}}$

단계 2.2

$u = - \frac{1}{x}$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = - \frac{1}{1}$

단계 2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$u_{lower} = - \frac{1}{1}$

단계 2.3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$u_{lower} = - 1 \cdot 1$

단계 2.3.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = - 1$

단계 2.4

$u = - \frac{1}{x}$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = - \frac{1}{t}$

단계 2.5

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = - \frac{1}{t}$

단계 2.6

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$lim_{t \to \infty} \int_{- 1}^{- \frac{1}{t}} e^{u} d u$

단계 3

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$lim_{t \to \infty} e^{u}]_{- 1}^{- \frac{1}{t}}$

단계 4

$- \frac{1}{t}$ , $- 1$ 일 때, $e^{u}$ 값을 계산합니다.

$lim_{t \to \infty} e^{- \frac{1}{t}} - e^{- 1}$

단계 5

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

$t$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$lim_{t \to \infty} e^{- \frac{1}{t}} - lim_{t \to \infty} e^{- 1}$

단계 5.1.2

극한을 지수로 옮깁니다.

$e^{lim_{t \to \infty} - \frac{1}{t}} - lim_{t \to \infty} e^{- 1}$

단계 5.1.3

$- 1$ 항은 $t$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$e^{- lim_{t \to \infty} \frac{1}{t}} - lim_{t \to \infty} e^{- 1}$

단계 5.2

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{t}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$e^{- 0} - lim_{t \to \infty} e^{- 1}$

단계 5.3

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$t$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $e^{- 1}$ 의 극한을 구합니다.

$e^{- 0} - e^{- 1}$

단계 5.3.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$e^{0} - e^{- 1}$

단계 5.3.2.2

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$1 - e^{- 1}$

단계 5.3.2.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$1 - \frac{1}{e}$

단계 6

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$1 - \frac{1}{e}$

소수 형태:

$0.63212055 \dots$