미적분 예제

$y = {(1 + \frac{1}{x})}^{3}$

단계 1

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = 1 + \frac{1}{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $1 + \frac{1}{x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [1 + \frac{1}{x}]$

단계 1.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [1 + \frac{1}{x}]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $1 + \frac{1}{x}$ 로 바꿉니다.

$3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2} \frac{d}{d x} [1 + \frac{1}{x}]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $1 + \frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 가 됩니다.

$3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

단계 2.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

단계 2.3

식을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 에 더합니다.

$3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

단계 2.3.2

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

단계 2.4

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2} (- x^{- 2})$

단계 2.5

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2} x^{- 2}$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2} \frac{1}{x^{2}}$

단계 3.2

항을 묶습니다.

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단계 3.2.1

$\frac{1}{x^{2}}$ 와 $- 3$ 을 묶습니다.

$\frac{- 3}{x^{2}} {(1 + \frac{1}{x})}^{2}$

단계 3.2.2

$\frac{- 3}{x^{2}}$ 와 ${(1 + \frac{1}{x})}^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2}}{x^{2}}$

단계 3.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2}}{x^{2}}$

단계 3.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.3.1

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$- \frac{3 {(\frac{x}{x} + \frac{1}{x})}^{2}}{x^{2}}$

단계 3.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{3 {(\frac{x + 1}{x})}^{2}}{x^{2}}$

단계 3.3.3

$\frac{x + 1}{x}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- \frac{3 \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}}}{x^{2}}$

단계 3.4

$3$ 와 $\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{\frac{3 {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}}{x^{2}}$

단계 3.5

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$- (\frac{3 {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x^{2}})$

단계 3.6

조합합니다.

$- \frac{3 {(x + 1)}^{2} \cdot 1}{x^{2} x^{2}}$

단계 3.7

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 3.7.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{3 {(x + 1)}^{2} \cdot 1}{x^{2 + 2}}$

단계 3.7.2

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$- \frac{3 {(x + 1)}^{2} \cdot 1}{x^{4}}$

단계 3.8

$3 {(x + 1)}^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{3 {(x + 1)}^{2}}{x^{4}}$