미적분 예제

$lim_{x \to 2} \frac{1}{x - 2} - \frac{6}{x^{2} + 2 x - 8}$

단계 1

항을 묶습니다.

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단계 1.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{x - 2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x^{2} + 2 x - 8}{x^{2} + 2 x - 8}$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 2} \frac{1}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 8}{x^{2} + 2 x - 8} - \frac{6}{x^{2} + 2 x - 8}$

단계 1.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{6}{x^{2} + 2 x - 8}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x - 2}{x - 2}$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 2} \frac{1}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 8}{x^{2} + 2 x - 8} - \frac{6}{x^{2} + 2 x - 8} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}$

단계 1.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 1.3.1

$\frac{1}{x - 2}$ 에 $\frac{x^{2} + 2 x - 8}{x^{2} + 2 x - 8}$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} + 2 x - 8}{(x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)} - \frac{6}{x^{2} + 2 x - 8} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}$

단계 1.3.2

$\frac{6}{x^{2} + 2 x - 8}$ 에 $\frac{x - 2}{x - 2}$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} + 2 x - 8}{(x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)} - \frac{6 (x - 2)}{(x^{2} + 2 x - 8) (x - 2)}$

단계 1.3.3

$(x^{2} + 2 x - 8) (x - 2)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} + 2 x - 8}{(x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)} - \frac{6 (x - 2)}{(x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)}$

단계 1.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} + 2 x - 8 - 6 (x - 2)}{(x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)}$

단계 2

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 2.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 2.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} + 2 x - 8 - 6 (x - 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)}$

단계 2.1.2

분자의 극한을 구하세요.

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단계 2.1.2.1

$x$ 가 $2$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 8 - lim_{x \to 2} 6 (x - 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)}$

단계 2.1.2.2

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $x^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 8 - lim_{x \to 2} 6 (x - 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)}$

단계 2.1.2.3

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 8 - lim_{x \to 2} 6 (x - 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)}$

단계 2.1.2.4

$x$ 가 $2$ 에 가까워질 때 상수값 $8$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 8 - lim_{x \to 2} 6 (x - 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)}$

단계 2.1.2.5

$6$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 8 - 6 lim_{x \to 2} x - 2}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)}$

단계 2.1.2.6

$x$ 가 $2$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 8 - 6 (lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)}$

단계 2.1.2.7

$x$ 가 $2$ 에 가까워질 때 상수값 $2$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 8 - 6 (lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)}$

단계 2.1.2.8

$x$ 가 있는 모든 곳에 $2$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.8.1

$x$ 에 $2$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{2^{2} + 2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 8 - 6 (lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)}$

단계 2.1.2.8.2

$x$ 에 $2$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{2^{2} + 2 \cdot 2 - 1 \cdot 8 - 6 (lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)}$

단계 2.1.2.8.3

$x$ 에 $2$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{2^{2} + 2 \cdot 2 - 1 \cdot 8 - 6 (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)}$

단계 2.1.2.9

답을 간단히 합니다.

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단계 2.1.2.9.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.1.2.9.1.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{4 + 2 \cdot 2 - 1 \cdot 8 - 6 (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)}$

단계 2.1.2.9.1.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{4 + 4 - 1 \cdot 8 - 6 (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)}$

단계 2.1.2.9.1.3

$- 1$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\frac{4 + 4 - 8 - 6 (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)}$

단계 2.1.2.9.1.4

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{4 + 4 - 8 - 6 (2 - 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)}$

단계 2.1.2.9.1.5

$2$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{4 + 4 - 8 - 6 \cdot 0}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)}$

단계 2.1.2.9.1.6

$- 6$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{4 + 4 - 8 + 0}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)}$

단계 2.1.2.9.2

$4$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{8 - 8 + 0}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)}$

단계 2.1.2.9.3

$8$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)}$

단계 2.1.2.9.4

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)}$

단계 2.1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

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단계 2.1.3.1

$x$ 가 $2$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 곱의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 2 \cdot lim_{x \to 2} x^{2} + 2 x - 8}$

단계 2.1.3.2

$x$ 가 $2$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{0}{(lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2) \cdot lim_{x \to 2} x^{2} + 2 x - 8}$

단계 2.1.3.3

$x$ 가 $2$ 에 가까워질 때 상수값 $2$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{0}{(lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2) \cdot lim_{x \to 2} x^{2} + 2 x - 8}$

단계 2.1.3.4

$x$ 가 $2$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{0}{(lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2) \cdot (lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 8)}$

단계 2.1.3.5

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $x^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{0}{(lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2) \cdot ({(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 8)}$

단계 2.1.3.6

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{0}{(lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2) \cdot ({(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 8)}$

단계 2.1.3.7

$x$ 가 $2$ 에 가까워질 때 상수값 $8$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{0}{(lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2) \cdot ({(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 8)}$

단계 2.1.3.8

$x$ 가 있는 모든 곳에 $2$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 2.1.3.8.1

$x$ 에 $2$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{(2 - 1 \cdot 2) \cdot ({(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 8)}$

단계 2.1.3.8.2

$x$ 에 $2$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{(2 - 1 \cdot 2) \cdot (2^{2} + 2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 8)}$

단계 2.1.3.8.3

$x$ 에 $2$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{(2 - 1 \cdot 2) \cdot (2^{2} + 2 \cdot 2 - 1 \cdot 8)}$

단계 2.1.3.9

답을 간단히 합니다.

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단계 2.1.3.9.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{0}{(2 - 2) \cdot (2^{2} + 2 \cdot 2 - 1 \cdot 8)}$

단계 2.1.3.9.2

$2$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{0}{0 \cdot (2^{2} + 2 \cdot 2 - 1 \cdot 8)}$

단계 2.1.3.9.3

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.1.3.9.3.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{0}{0 \cdot (4 + 2 \cdot 2 - 1 \cdot 8)}$

단계 2.1.3.9.3.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{0}{0 \cdot (4 + 4 - 1 \cdot 8)}$

단계 2.1.3.9.3.3

$- 1$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\frac{0}{0 \cdot (4 + 4 - 8)}$

단계 2.1.3.9.4

$4$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{0}{0 \cdot (8 - 8)}$

단계 2.1.3.9.5

$8$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

단계 2.1.3.9.6

$0$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{0}{0}$

단계 2.1.3.9.7

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 2.1.3.10

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 2.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 2.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} + 2 x - 8 - 6 (x - 2)}{(x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 8 - 6 (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)]}$

단계 2.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 2.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 8 - 6 (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)]}$

단계 2.3.2

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 2 x - 8 - 6 (x - 2)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8] + \frac{d}{d x} [- 6 (x - 2)]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8] + \frac{d}{d x} [- 6 (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)]}$

단계 2.3.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8] + \frac{d}{d x} [- 6 (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)]}$

단계 2.3.4

$\frac{d}{d x} [2 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.4.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8] + \frac{d}{d x} [- 6 (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)]}$

단계 2.3.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8] + \frac{d}{d x} [- 6 (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)]}$

단계 2.3.4.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 8] + \frac{d}{d x} [- 6 (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)]}$

단계 2.3.5

$- 8$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 8$ 입니다.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2 + 0 + \frac{d}{d x} [- 6 (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)]}$

단계 2.3.6

$\frac{d}{d x} [- 6 (x - 2)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.6.1

$- 6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 6 (x - 2)$ 의 미분은 $- 6 \frac{d}{d x} [x - 2]$ 입니다.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2 + 0 - 6 \frac{d}{d x} [x - 2]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)]}$

단계 2.3.6.2

합의 법칙에 의해 $x - 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2 + 0 - 6 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)]}$

단계 2.3.6.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2 + 0 - 6 (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)]}$

단계 2.3.6.4

$- 2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2 + 0 - 6 (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)]}$

단계 2.3.6.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2 + 0 - 6 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)]}$

단계 2.3.6.6

$- 6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2 + 0 - 6}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)]}$

단계 2.3.7

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.1

$2 x + 2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2 - 6}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)]}$

단계 2.3.7.2

$2$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)]}$

단계 2.3.8

$f (x) = x - 2$ , $g (x) = x^{2} + 2 x - 8$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{(x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 8] + (x^{2} + 2 x - 8) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

단계 2.3.9

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 2 x - 8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{(x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]) + (x^{2} + 2 x - 8) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

단계 2.3.10

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{(x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]) + (x^{2} + 2 x - 8) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

단계 2.3.11

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{(x - 2) (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]) + (x^{2} + 2 x - 8) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

단계 2.3.12

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{(x - 2) (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]) + (x^{2} + 2 x - 8) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

단계 2.3.13

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{(x - 2) (2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 8]) + (x^{2} + 2 x - 8) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

단계 2.3.14

$- 8$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 8$ 입니다.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{(x - 2) (2 x + 2 + 0) + (x^{2} + 2 x - 8) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

단계 2.3.15

$2 x + 2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{(x - 2) (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x - 8) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

단계 2.3.16

합의 법칙에 의해 $x - 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{(x - 2) (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x - 8) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}$

단계 2.3.17

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{(x - 2) (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x - 8) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}$

단계 2.3.18

$- 2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{(x - 2) (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x - 8) (1 + 0)}$

단계 2.3.19

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{(x - 2) (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x - 8) \cdot 1}$

단계 2.3.20

$x^{2} + 2 x - 8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{(x - 2) (2 x + 2) + x^{2} + 2 x - 8}$

단계 2.3.21

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.21.1

분배 법칙을 적용합니다.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{(x - 2) (2 x) + (x - 2) \cdot 2 + x^{2} + 2 x - 8}$

단계 2.3.21.2

분배 법칙을 적용합니다.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{x (2 x) - 2 (2 x) + (x - 2) \cdot 2 + x^{2} + 2 x - 8}$

단계 2.3.21.3

분배 법칙을 적용합니다.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{x (2 x) - 2 (2 x) + x \cdot 2 - 2 \cdot 2 + x^{2} + 2 x - 8}$

단계 2.3.21.4

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.21.4.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{2 (x^{1} x) - 2 (2 x) + x \cdot 2 - 2 \cdot 2 + x^{2} + 2 x - 8}$

단계 2.3.21.4.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{2 (x^{1} x^{1}) - 2 (2 x) + x \cdot 2 - 2 \cdot 2 + x^{2} + 2 x - 8}$

단계 2.3.21.4.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{2 x^{1 + 1} - 2 (2 x) + x \cdot 2 - 2 \cdot 2 + x^{2} + 2 x - 8}$

단계 2.3.21.4.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{2 x^{2} - 2 (2 x) + x \cdot 2 - 2 \cdot 2 + x^{2} + 2 x - 8}$

단계 2.3.21.4.5

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{2 x^{2} - 4 x + x \cdot 2 - 2 \cdot 2 + x^{2} + 2 x - 8}$

단계 2.3.21.4.6

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{2 x^{2} - 4 x + 2 \cdot x - 2 \cdot 2 + x^{2} + 2 x - 8}$

단계 2.3.21.4.7

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{2 x^{2} - 4 x + 2 x - 4 + x^{2} + 2 x - 8}$

단계 2.3.21.4.8

$- 4 x$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{2 x^{2} - 2 x - 4 + x^{2} + 2 x - 8}$

단계 2.3.21.4.9

$2 x^{2}$ 를 $x^{2}$ 에 더합니다.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{3 x^{2} - 2 x - 4 + 2 x - 8}$

단계 2.3.21.4.10

$- 2 x$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{3 x^{2} + 0 - 4 - 8}$

단계 2.3.21.4.11

$3 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{3 x^{2} - 4 - 8}$

단계 2.3.21.4.12

$- 4$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{3 x^{2} - 12}$

단계 3

로피탈 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to 2} 2 x - 4}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 12}$

단계 3.1.2

분자의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1.1

$x$ 가 $2$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 12}$

단계 3.1.2.1.2

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{2 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 12}$

단계 3.1.2.1.3

$x$ 가 $2$ 에 가까워질 때 상수값 $4$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 12}$

단계 3.1.2.2

$x$ 에 $2$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{2 \cdot 2 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 12}$

단계 3.1.2.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.3.1.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 12}$

단계 3.1.2.3.1.2

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 12}$

단계 3.1.2.3.2

$4$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 12}$

단계 3.1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.3.1

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.3.1.1

$x$ 가 $2$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - lim_{x \to 2} 12}$

단계 3.1.3.1.2

$3$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{0}{3 lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 12}$

단계 3.1.3.1.3

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $x^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 12}$

단계 3.1.3.1.4

$x$ 가 $2$ 에 가까워질 때 상수값 $12$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 12}$

단계 3.1.3.2

$x$ 에 $2$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{3 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 12}$

단계 3.1.3.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.3.3.1.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{0}{3 \cdot 4 - 1 \cdot 12}$

단계 3.1.3.3.1.2

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{0}{12 - 1 \cdot 12}$

단계 3.1.3.3.1.3

$- 1$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$\frac{0}{12 - 12}$

단계 3.1.3.3.2

$12$ 에서 $12$ 을 뺍니다.

$\frac{0}{0}$

단계 3.1.3.3.3

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 3.1.3.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 3.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 3.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{3 x^{2} - 12} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [2 x - 4]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 12]}$

단계 3.3

분자와 분모를 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [2 x - 4]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 12]}$

단계 3.3.2

합의 법칙에 의해 $2 x - 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 12]}$

단계 3.3.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to 2} \frac{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 12]}$

단계 3.3.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 2} \frac{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 12]}$

단계 3.3.3.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 2} \frac{2 + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 12]}$

단계 3.3.4

$- 4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 4$ 입니다.

$lim_{x \to 2} \frac{2 + 0}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 12]}$

단계 3.3.5

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to 2} \frac{2}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 12]}$

단계 3.3.6

합의 법칙에 의해 $3 x^{2} - 12$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to 2} \frac{2}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]}$

단계 3.3.7

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.7.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{2}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$lim_{x \to 2} \frac{2}{3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]}$

단계 3.3.7.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 2} \frac{2}{3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12]}$

단계 3.3.7.3

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 2} \frac{2}{6 x + \frac{d}{d x} [- 12]}$

단계 3.3.8

$- 12$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 12$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 12$ 입니다.

$lim_{x \to 2} \frac{2}{6 x + 0}$

단계 3.3.9

$6 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to 2} \frac{2}{6 x}$

단계 3.4

$2$ 및 $6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$lim_{x \to 2} \frac{2 (1)}{6 x}$

단계 3.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

$6 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$lim_{x \to 2} \frac{2 (1)}{2 (3 x)}$

단계 3.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$lim_{x \to 2} \frac{2 \cdot 1}{2 (3 x)}$

단계 3.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$lim_{x \to 2} \frac{1}{3 x}$

단계 4

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$\frac{1}{3}$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 2} \frac{1}{x}$

단계 4.2

$x$ 가 $2$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} x}$

단계 4.3

$x$ 가 $2$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 2} x}$

단계 5

$x$ 에 $2$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$

단계 6

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3 \cdot 2}$

단계 6.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{6}$

단계 7

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{1}{6}$

소수 형태:

$0.1\overline{6}$