미적분 예제

$y'''' = 3 x^{2}$ , $y = x^{3} - 4$

단계 1

$y'$ 를 구합니다.

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단계 1.1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{3} - 4)$

단계 1.2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 1.3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 1.3.1

합의 법칙에 의해 $x^{3} - 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 1.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 1.3.3

$- 4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 4$ 입니다.

$3 x^{2} + 0$

단계 1.3.4

$3 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3 x^{2}$

단계 1.4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = 3 x^{2}$

단계 2

$y''$ 를 구합니다.

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단계 2.1

도함수를 구합니다.

$y'' = \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

단계 2.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{2}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$y'' = 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y'' = 3 (2 x)$

단계 2.4

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y'' = 6 x$

단계 3

$y'''$ 를 구합니다.

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단계 3.1

도함수를 구합니다.

$y''' = \frac{d}{d x} [6 x]$

단계 3.2

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$y''' = 6 \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y''' = 6 \cdot 1$

단계 3.4

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y''' = 6$

단계 4

$y''''$ 를 구합니다.

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단계 4.1

도함수를 구합니다.

$y'''' = \frac{d}{d x} [6]$

단계 4.2

$6$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $6$ 입니다.

$y'''' = 0$

단계 5

주어진 미분 방정식에 대입합니다.

$0 = 3 x^{2}$

단계 6

주어진 해는 주어진 미분 방정식을 만족하지 않습니다.

$y = x^{3} - 4$ 이 $y'''' = 3 x^{2}$ 의 해가 아닙니다.