미적분 예제

$\ln (| \cos (\frac{π}{x}) |)$

단계 1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = | \cos (\frac{π}{x}) |$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $| \cos (\frac{π}{x}) |$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| \cos (\frac{π}{x}) |]$

단계 1.2

$\ln (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1}}$ 입니다.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| \cos (\frac{π}{x}) |]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 $| \cos (\frac{π}{x}) |$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{| \cos (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [| \cos (\frac{π}{x}) |]$

단계 2

$f (x) = | x |$ , $g (x) = \cos (\frac{π}{x})$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $\cos (\frac{π}{x})$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{| \cos (\frac{π}{x}) |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{x})])$

단계 2.2

$| u_{2} |$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ 입니다.

$\frac{1}{| \cos (\frac{π}{x}) |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{x})])$

단계 2.3

$u_{2}$ 를 모두 $\cos (\frac{π}{x})$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{| \cos (\frac{π}{x}) |} (\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{x})])$

단계 3

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos (\frac{π}{x}) |}$ 에 $\frac{1}{| \cos (\frac{π}{x}) |}$ 을 곱합니다.

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos (\frac{π}{x}) | | \cos (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{x})]$

단계 4

절댓값을 곱하려면 각 절댓값 내부의 항을 곱합니다.

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos (\frac{π}{x}) \cos (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{x})]$

단계 5

$\cos (\frac{π}{x})$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos^{1} (\frac{π}{x}) \cos (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{x})]$

단계 6

$\cos (\frac{π}{x})$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos^{1} (\frac{π}{x}) \cos^{1} (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{x})]$

단계 7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| {\cos (\frac{π}{x})}^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{x})]$

단계 8

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{x})]$

단계 9

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = \frac{π}{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{3}$ 를 $\frac{π}{x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [\frac{π}{x}])$

단계 9.2

$\cos (u_{3})$ 를 $u_{3}$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u_{3})$ 입니다.

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [\frac{π}{x}])$

단계 9.3

$u_{3}$ 를 모두 $\frac{π}{x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} (- \sin (\frac{π}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{π}{x}])$

단계 10

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |}$ 와 $\sin (\frac{π}{x})$ 을 묶습니다.

$- \frac{\cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [\frac{π}{x}]$

단계 10.2

$π$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{π}{x}$ 의 미분은 $π \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 입니다.

$- \frac{\cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} (π \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

단계 10.3

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.1

$π$ 와 $\frac{\cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |}$ 을 묶습니다.

$- \frac{π (\cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x}))}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

단계 10.3.2

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

단계 10.4

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} (- x^{- 2})$

단계 10.5

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.5.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 \frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} x^{- 2}$

단계 10.5.2

$\frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} x^{- 2}$

단계 10.5.3

$\frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |}$ 와 $x^{- 2}$ 을 묶습니다.

$\frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x}) x^{- 2}}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |}$

단계 10.5.4

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 2}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) | x^{2}}$

단계 11

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{x^{2} | \cos^{2} (\frac{π}{x}) |}$

단계 11.2

절댓값에서 음이 아닌 항을 제거합니다.

$\frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{x^{2} \cos^{2} (\frac{π}{x})}$

단계 11.3

$\cos (\frac{π}{x})$ 및 $\cos^{2} (\frac{π}{x})$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.1

$π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})$ 에서 $\cos (\frac{π}{x})$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\cos (\frac{π}{x}) (π \sin (\frac{π}{x}))}{x^{2} \cos^{2} (\frac{π}{x})}$

단계 11.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.2.1

$x^{2} \cos^{2} (\frac{π}{x})$ 에서 $\cos (\frac{π}{x})$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\cos (\frac{π}{x}) (π \sin (\frac{π}{x}))}{\cos (\frac{π}{x}) (x^{2} \cos (\frac{π}{x}))}$

단계 11.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{\cos (\frac{π}{x}) (π \sin (\frac{π}{x}))}{\cos (\frac{π}{x}) (x^{2} \cos (\frac{π}{x}))}$

단계 11.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{π \sin (\frac{π}{x})}{x^{2} \cos (\frac{π}{x})}$

단계 11.4

분수를 나눕니다.

$\frac{π}{x^{2}} \cdot \frac{\sin (\frac{π}{x})}{\cos (\frac{π}{x})}$

단계 11.5

$\frac{\sin (\frac{π}{x})}{\cos (\frac{π}{x})}$ 을 $\tan (\frac{π}{x})$ 로 변환합니다.

$\frac{π}{x^{2}} \tan (\frac{π}{x})$

단계 11.6

$\frac{π}{x^{2}}$ 와 $\tan (\frac{π}{x})$ 을 묶습니다.

$\frac{π \tan (\frac{π}{x})}{x^{2}}$