미적분 예제

$\int_{2}^{4} \frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x} d x$

단계 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 일 때 $x = 2 \sec (t)$ 라고 하면 $d x = 2 \sec (t) \tan (t) d t$ 입니다. $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 이므로 $2 \sec (t) \tan (t)$ 는 양수입니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2} - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

단계 2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2} - 4}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.1

$2 \sec (t)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{2^{2} \sec^{2} (t) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

단계 2.1.1.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{4 \sec^{2} (t) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

단계 2.1.2

$4 \sec^{2} (t)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{4 (\sec^{2} (t)) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

단계 2.1.3

$- 4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

단계 2.1.4

$4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{4 (\sec^{2} (t) - 1)}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

단계 2.1.5

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{4 \tan^{2} (t)}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

단계 2.1.6

$4 \tan^{2} (t)$ 을 ${(2 \tan (t))}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2}}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

단계 2.1.7

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

단계 2.2

$2 \sec (t)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$2 \sec (t) \tan (t)$ 에서 $2 \sec (t)$ 를 인수분해합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) (\tan (t))) d t$

단계 2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

단계 2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 \tan (t) \tan (t) d t$

단계 3

$\tan (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 (\tan^{1} (t) \tan (t)) d t$

단계 4

$\tan (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) d t$

단계 5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 {\tan (t)}^{1 + 1} d t$

단계 6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 \tan^{2} (t) d t$

단계 7

$2$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{2} (t) d t$

단계 8

피타고라스 항등식을 이용하여 $\tan^{2} (t)$ 를 $- 1 + \sec^{2} (t)$ 로 바꿔 씁니다.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{3}} - 1 + \sec^{2} (t) d t$

단계 9

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$2 (\int_{0}^{\frac{π}{3}} - 1 d t + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (t) d t)$

단계 10

상수 규칙을 적용합니다.

$2 (- t]_{0}^{\frac{π}{3}} + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (t) d t)$

단계 11

$\tan (t)$ 의 도함수는 $\sec^{2} (t)$ 이므로, $\sec^{2} (t)$ 의 적분값은 $\tan (t)$ 이 됩니다.

$2 (- t]_{0}^{\frac{π}{3}} + \tan (t)]_{0}^{\frac{π}{3}})$

단계 12

$- t]_{0}^{\frac{π}{3}}$ 와 $\tan (t)]_{0}^{\frac{π}{3}}$ 을 묶습니다.

$2 (- t + \tan (t)]_{0}^{\frac{π}{3}})$

단계 13

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$\frac{π}{3}$ , $0$ 일 때, $- t + \tan (t)$ 값을 계산합니다.

$2 ((- \frac{π}{3} + \tan (\frac{π}{3})) - (- 0 + \tan (0)))$

단계 13.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.1

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$2 (- \frac{π}{3} + \tan (\frac{π}{3}) - (0 + \tan (0)))$

단계 13.2.2

$0$ 를 $\tan (0)$ 에 더합니다.

$2 (- \frac{π}{3} + \tan (\frac{π}{3}) - \tan (0))$

단계 14

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

$\tan (\frac{π}{3})$ 의 정확한 값은 $\sqrt{3}$ 입니다.

$2 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3} - \tan (0))$

단계 14.2

$\tan (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$2 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3} - 0)$

단계 14.3

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$2 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3} + 0)$

단계 14.4

$- \frac{π}{3} + \sqrt{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3})$

단계 15

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 (- \frac{π}{3}) + 2 \sqrt{3}$

단계 15.2

$2 (- \frac{π}{3})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 2 \frac{π}{3} + 2 \sqrt{3}$

단계 15.2.2

$- 2$ 와 $\frac{π}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2 π}{3} + 2 \sqrt{3}$

단계 15.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2 π}{3} + 2 \sqrt{3}$

단계 16

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$- \frac{2 π}{3} + 2 \sqrt{3}$

소수 형태:

$1.36970651 \dots$

단계 17