미적분 예제

$\int_{1}^{e} \frac{\ln (x)}{x^{3}} d x$

단계 1

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$x^{3}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\int_{1}^{e} \ln (x) {(x^{3})}^{- 1} d x$

단계 1.2

${(x^{3})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 1.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int_{1}^{e} \ln (x) x^{3 \cdot - 1} d x$

단계 1.2.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int_{1}^{e} \ln (x) x^{- 3} d x$

단계 2

$u = \ln (x)$ 이고 $d v = x^{- 3}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$\ln (x) (- \frac{1}{2 x^{2}})]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{1}{x} d x$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

$\ln (x)$ 와 $\frac{1}{2 x^{2}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{1}{x} d x$

단계 3.2

$\frac{1}{x}$ 에 $\frac{1}{2 x^{2}}$ 을 곱합니다.

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x (2 x^{2})} d x$

단계 3.3

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{2 (x^{1} x^{2})} d x$

단계 3.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{2 x^{1 + 2}} d x$

단계 3.5

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{2 x^{3}} d x$

단계 4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} - - \int_{1}^{e} \frac{1}{2 x^{3}} d x$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} + 1 \int_{1}^{e} \frac{1}{2 x^{3}} d x$

단계 5.2

$\int_{1}^{e} \frac{1}{2 x^{3}} d x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} \frac{1}{2 x^{3}} d x$

단계 6

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} + \frac{1}{2} \int_{1}^{e} \frac{1}{x^{3}} d x$

단계 7

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$x^{3}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} + \frac{1}{2} \int_{1}^{e} {(x^{3})}^{- 1} d x$

단계 7.2

${(x^{3})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} + \frac{1}{2} \int_{1}^{e} x^{3 \cdot - 1} d x$

단계 7.2.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} + \frac{1}{2} \int_{1}^{e} x^{- 3} d x$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $x^{- 3}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ 가 됩니다.

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} x^{- 2}]_{1}^{e}$

단계 9

대입하여 간단히 합니다.

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단계 9.1

$e$ , $1$ 일 때, $- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}$ 값을 계산합니다.

$(- \frac{\ln (e)}{2 e^{2}}) + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1^{2}} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} x^{- 2}]_{1}^{e}$

단계 9.2

$e$ , $1$ 일 때, $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ 값을 계산합니다.

$(- \frac{\ln (e)}{2 e^{2}}) + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1^{2}} + \frac{1}{2} ((- \frac{1}{2} e^{- 2}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

단계 9.3

간단히 합니다.

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단계 9.3.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- \frac{\ln (e)}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1} + \frac{1}{2} ((- \frac{1}{2} e^{- 2}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

단계 9.3.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{\ln (e)}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{1}{2} ((- \frac{1}{2} e^{- 2}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

단계 9.3.3

$e^{- 2}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{\ln (e)}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{e^{- 2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

단계 9.3.4

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $e^{- 2}$ 를 분모로 이동합니다.

$- \frac{\ln (e)}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

단계 9.3.5

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- \frac{\ln (e)}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2} \cdot 1)$

단계 9.3.6

$\frac{1}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{\ln (e)}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2})$

단계 9.3.7

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2})$ 을 표현하기 위해 $\frac{2 e^{2}}{2 e^{2}}$ 을 곱합니다.

$- \frac{\ln (e)}{2 e^{2}} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2}) \cdot \frac{2 e^{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

단계 9.3.8

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2})$ 와 $\frac{2 e^{2}}{2 e^{2}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{\ln (e)}{2 e^{2}} + \frac{\frac{1}{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2}) (2 e^{2})}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

단계 9.3.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- \ln (e) + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2}) (2 e^{2})}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

단계 9.3.10

$2$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{- \ln (e) + \frac{2}{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2}) e^{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

단계 9.3.11

$e^{2}$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{- \ln (e) + \frac{e^{2} \cdot 2}{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2})}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

단계 9.3.12

$e^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{- \ln (e) + \frac{2 \cdot e^{2}}{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2})}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

단계 9.3.13

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.13.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- \ln (e) + \frac{2 e^{2}}{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2})}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

단계 9.3.13.2

$e^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{- \ln (e) + e^{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2})}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

단계 10

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 10.1.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1.1.1

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$\frac{- 1 \cdot 1 + e^{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2})}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

단계 10.1.1.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 1 + e^{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2})}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

단계 10.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- 1 + e^{2} (- \frac{1}{2 e^{2}}) + e^{2} \frac{1}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

단계 10.1.1.4

$e^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1.1.4.1

$- \frac{1}{2 e^{2}}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{- 1 + e^{2} \frac{- 1}{2 e^{2}} + e^{2} \frac{1}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

단계 10.1.1.4.2

$2 e^{2}$ 에서 $e^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1 + e^{2} \frac{- 1}{e^{2} \cdot 2} + e^{2} \frac{1}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

단계 10.1.1.4.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 1 + e^{2} \frac{- 1}{e^{2} \cdot 2} + e^{2} \frac{1}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

단계 10.1.1.4.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 1 + \frac{- 1}{2} + e^{2} \frac{1}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

단계 10.1.1.5

$e^{2}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 1 + \frac{- 1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

단계 10.1.1.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{- 1 - \frac{1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

단계 10.1.1.7

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{- 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

단계 10.1.1.8

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

단계 10.1.1.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

단계 10.1.1.10

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1.1.10.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{- 2 - 1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

단계 10.1.1.10.2

$- 2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{\frac{- 3}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

단계 10.1.1.11

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{- 3 + e^{2}}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

단계 10.1.2

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{- 3 + e^{2}}{2} \cdot \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

단계 10.1.3

$\frac{- 3 + e^{2}}{2} \cdot \frac{1}{2 e^{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1.3.1

$\frac{- 3 + e^{2}}{2}$ 에 $\frac{1}{2 e^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{- 3 + e^{2}}{2 (2 e^{2})} + \frac{\ln (1)}{2}$

단계 10.1.3.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{- 3 + e^{2}}{4 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

단계 10.1.4

$1$ 의 자연로그값은 $0$ 입니다.

$\frac{- 3 + e^{2}}{4 e^{2}} + \frac{0}{2}$

단계 10.1.5

$0$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{- 3 + e^{2}}{4 e^{2}} + 0$

단계 10.2

$\frac{- 3 + e^{2}}{4 e^{2}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{- 3 + e^{2}}{4 e^{2}}$

단계 11

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{- 3 + e^{2}}{4 e^{2}}$

소수 형태:

$0.14849853 \dots$