미적분 예제

$lim_{x \to \infty} {(\frac{x}{x - 2})}^{x}$

단계 1

로그 성질을 사용하여 극한을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

${(\frac{x}{x - 2})}^{x}$ 을 $e^{\ln ({(\frac{x}{x - 2})}^{x})}$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(\frac{x}{x - 2})}^{x})}$

단계 1.2

$x$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln ({(\frac{x}{x - 2})}^{x})$ 을 전개합니다.

$lim_{x \to \infty} e^{x \ln (\frac{x}{x - 2})}$

단계 2

극한을 지수로 옮깁니다.

$e^{lim_{x \to \infty} x \ln (\frac{x}{x - 2})}$

단계 3

$x \ln (\frac{x}{x - 2})$ 을 $\frac{\ln (\frac{x}{x - 2})}{\frac{1}{x}}$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{x}{x - 2})}{\frac{1}{x}}}$

단계 4

로피탈 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (\frac{x}{x - 2})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

단계 4.1.2

분자의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

극한을 로그 안으로 옮깁니다.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{x}{x - 2})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

단계 4.1.2.2

분모의 $x$ 의 가장 높은 차수인 $x$ 로 분자와 분모를 나눕니다.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{- 2}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

단계 4.1.2.3

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.3.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{- 2}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

단계 4.1.2.3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{- 2}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

단계 4.1.2.3.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.3.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{- 2}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

단계 4.1.2.3.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{- 2}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

단계 4.1.2.3.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 - \frac{2}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

단계 4.1.2.3.3

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$e^{\frac{\ln (\frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{2}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

단계 4.1.2.3.4

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{2}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

단계 4.1.2.3.5

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

단계 4.1.2.3.6

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{1 - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

단계 4.1.2.3.7

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{1 - 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

단계 4.1.2.4

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{x}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{1 - 2 \cdot 0})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

단계 4.1.2.5

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.5.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.5.1.1

$- 2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{1 + 0})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

단계 4.1.2.5.1.2

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

단계 4.1.2.5.2

$1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

단계 4.1.2.5.3

$1$ 의 자연로그값은 $0$ 입니다.

$e^{\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

단계 4.1.3

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{x}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$e^{\frac{0}{0}}$

단계 4.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$e^{\frac{0}{0}}$

단계 4.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{x}{x - 2})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{x - 2})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

단계 4.3

분자와 분모를 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{x - 2})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 4.3.2

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = \frac{x}{x - 2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{x}{x - 2}$ 로 바꿉니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 4.3.2.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 4.3.2.3

$u$ 를 모두 $\frac{x}{x - 2}$ 로 바꿉니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\frac{x}{x - 2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 4.3.3

$\frac{x}{x - 2}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1 \frac{x - 2}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 4.3.4

$\frac{x - 2}{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 2}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 4.3.5

$f (x) = x$ , $g (x) = x - 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 2}{x} \cdot \frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 4.3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 2}{x} \cdot \frac{(x - 2) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 4.3.7

$x - 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 2}{x} \cdot \frac{x - 2 - x \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 4.3.8

합의 법칙에 의해 $x - 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 가 됩니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 2}{x} \cdot \frac{x - 2 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 4.3.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 2}{x} \cdot \frac{x - 2 - x (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 4.3.10

$- 2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 2}{x} \cdot \frac{x - 2 - x (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 4.3.11

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 2}{x} \cdot \frac{x - 2 - x \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 4.3.12

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 2}{x} \cdot \frac{x - 2 - x}{{(x - 2)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 4.3.13

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 2}{x} \cdot \frac{0 - 2}{{(x - 2)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 4.3.14

$0$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 2}{x} \cdot \frac{- 2}{{(x - 2)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 4.3.15

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 2}{x} \cdot - 1 \frac{2}{{(x - 2)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 4.3.16

$\frac{x - 2}{x}$ 에 $\frac{2}{{(x - 2)}^{2}}$ 을 곱합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{(x - 2) \cdot 2}{x {(x - 2)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 4.3.17

$x - 2$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2 \cdot (x - 2)}{x {(x - 2)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 4.3.18

$x - 2$ 및 ${(x - 2)}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.18.1

$2 (x - 2)$ 에서 $x - 2$ 를 인수분해합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{(x - 2) \cdot 2}{x {(x - 2)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 4.3.18.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.18.2.1

$x {(x - 2)}^{2}$ 에서 $x - 2$ 를 인수분해합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{(x - 2) \cdot 2}{(x - 2) x (x - 2)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 4.3.18.2.2

공약수로 약분합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{(x - 2) \cdot 2}{(x - 2) x (x - 2)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 4.3.18.2.3

수식을 다시 씁니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{x (x - 2)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 4.3.19

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{x (x - 2)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

단계 4.3.20

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{x (x - 2)}}{- x^{- 2}}}$

단계 4.3.21

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{x (x - 2)}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

단계 4.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{2}{x (x - 2)} \cdot - 1 x^{2}}$

단계 4.5

인수끼리 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} 1 \frac{2}{x (x - 2)} x^{2}}$

단계 4.5.2

$\frac{2}{x (x - 2)}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x (x - 2)} x^{2}}$

단계 4.5.3

$\frac{2}{x (x - 2)}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2}}{x (x - 2)}}$

단계 4.6

$x^{2}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.6.1

$2 x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot 2 x}{x (x - 2)}}$

단계 4.6.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.6.2.1

공약수로 약분합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot 2 x}{x (x - 2)}}$

단계 4.6.2.2

수식을 다시 씁니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x - 2}}$

단계 5

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x - 2}}$

단계 6

분모의 $x$ 의 가장 높은 차수인 $x$ 로 분자와 분모를 나눕니다.

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{- 2}{x}}}$

단계 7

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

공약수로 약분합니다.

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{- 2}{x}}}$

단계 7.1.2

수식을 다시 씁니다.

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{- 2}{x}}}$

단계 7.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{- 2}{x}}}$

단계 7.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{- 2}{x}}}$

단계 7.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 - \frac{2}{x}}}$

단계 7.3

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$e^{2 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{2}{x}}}$

단계 7.4

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$e^{2 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{2}{x}}}$

단계 7.5

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$e^{2 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}}$

단계 7.6

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$e^{2 \frac{1}{1 - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}}$

단계 7.7

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$e^{2 \frac{1}{1 - 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

단계 8

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{x}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$e^{2 \frac{1}{1 - 2 \cdot 0}}$

단계 9

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

$- 2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$e^{2 \frac{1}{1 + 0}}$

단계 9.1.2

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$e^{2 (\frac{1}{1})}$

단계 9.2

$1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

공약수로 약분합니다.

$e^{2 (\frac{1}{1})}$

단계 9.2.2

수식을 다시 씁니다.

$e^{2 \cdot 1}$

단계 9.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{2}$