미적분 예제

$\frac{x^{2} e^{x}}{x^{2} + e^{x}}$

단계 1

$f (x) = x^{2} e^{x}$ , $g (x) = x^{2} + e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} + e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] - x^{2} e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} + e^{x}]}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

단계 2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} + e^{x}) (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} + e^{x}]}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

단계 3

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} + e^{x}) (x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} + e^{x}]}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} + e^{x}) (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) - x^{2} e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} + e^{x}]}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

단계 4.2

합의 법칙에 의해 $x^{2} + e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 가 됩니다.

$\frac{(x^{2} + e^{x}) (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) - x^{2} e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

단계 4.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} + e^{x}) (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) - x^{2} e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

단계 5

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} + e^{x}) (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) - x^{2} e^{x} (2 x + e^{x})}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(x^{2} + e^{x}) (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

단계 6.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.2.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{(x^{2} + e^{x}) (x^{2} e^{x} + 2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

단계 6.2.1.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(x^{2} + e^{x}) (x^{2} e^{x} + 2 e^{x} x)$ 를 전개합니다.

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단계 6.2.1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} (x^{2} e^{x} + 2 e^{x} x) + e^{x} (x^{2} e^{x} + 2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

단계 6.2.1.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} (x^{2} e^{x}) + x^{2} (2 e^{x} x) + e^{x} (x^{2} e^{x} + 2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

단계 6.2.1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} (x^{2} e^{x}) + x^{2} (2 e^{x} x) + e^{x} (x^{2} e^{x}) + e^{x} (2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

단계 6.2.1.3

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.2.1.3.1

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 6.2.1.3.1.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{x^{2} x^{2} e^{x} + x^{2} (2 e^{x} x) + e^{x} (x^{2} e^{x}) + e^{x} (2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

단계 6.2.1.3.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x^{2 + 2} e^{x} + x^{2} (2 e^{x} x) + e^{x} (x^{2} e^{x}) + e^{x} (2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

단계 6.2.1.3.1.3

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{x^{4} e^{x} + x^{2} (2 e^{x} x) + e^{x} (x^{2} e^{x}) + e^{x} (2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

단계 6.2.1.3.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{2} (e^{x} x) + e^{x} (x^{2} e^{x}) + e^{x} (2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

단계 6.2.1.3.3

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 6.2.1.3.3.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 (x \cdot x^{2}) e^{x} + e^{x} (x^{2} e^{x}) + e^{x} (2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

단계 6.2.1.3.3.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 6.2.1.3.3.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 (x^{1} x^{2}) e^{x} + e^{x} (x^{2} e^{x}) + e^{x} (2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

단계 6.2.1.3.3.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{1 + 2} e^{x} + e^{x} (x^{2} e^{x}) + e^{x} (2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

단계 6.2.1.3.3.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{x} (x^{2} e^{x}) + e^{x} (2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

단계 6.2.1.3.4

지수를 더하여 $e^{x}$ 에 $e^{x}$ 을 곱합니다.

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단계 6.2.1.3.4.1

$e^{x}$ 를 옮깁니다.

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{x} e^{x} x^{2} + e^{x} (2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

단계 6.2.1.3.4.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{x + x} x^{2} + e^{x} (2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

단계 6.2.1.3.4.3

$x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + e^{x} (2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

단계 6.2.1.3.5

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{x} (e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

단계 6.2.1.3.6

지수를 더하여 $e^{x}$ 에 $e^{x}$ 을 곱합니다.

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단계 6.2.1.3.6.1

$e^{x}$ 를 옮깁니다.

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 (e^{x} e^{x}) x - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

단계 6.2.1.3.6.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{x + x} x - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

단계 6.2.1.3.6.3

$x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

단계 6.2.1.4

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 6.2.1.4.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - (x \cdot x^{2}) e^{x} \cdot 2 - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

단계 6.2.1.4.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 6.2.1.4.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - (x^{1} x^{2}) e^{x} \cdot 2 - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

단계 6.2.1.4.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - x^{1 + 2} e^{x} \cdot 2 - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

단계 6.2.1.4.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - x^{3} e^{x} \cdot 2 - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

단계 6.2.1.5

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - 2 x^{3} e^{x} - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

단계 6.2.1.6

지수를 더하여 $e^{x}$ 에 $e^{x}$ 을 곱합니다.

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단계 6.2.1.6.1

$e^{x}$ 를 옮깁니다.

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - 2 x^{3} e^{x} - x^{2} (e^{x} e^{x})}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

단계 6.2.1.6.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - 2 x^{3} e^{x} - x^{2} e^{x + x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

단계 6.2.1.6.3

$x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - 2 x^{3} e^{x} - x^{2} e^{2 x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

단계 6.2.2

$x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - 2 x^{3} e^{x} - x^{2} e^{2 x}$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 6.2.2.1

$2 x^{3} e^{x}$ 에서 $2 x^{3} e^{x}$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{4} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x + 0 - x^{2} e^{2 x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

단계 6.2.2.2

$x^{4} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x^{4} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - x^{2} e^{2 x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

단계 6.2.2.3

인수가 항 $e^{2 x} x^{2}$ 과(와) $- x^{2} e^{2 x}$ (으)로 표현되도록 다시 정렬합니다.

$\frac{x^{4} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - e^{2 x} x^{2}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

단계 6.2.2.4

$e^{2 x} x^{2}$ 에서 $e^{2 x} x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 e^{2 x} x + 0}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

단계 6.2.2.5

$x^{4} e^{x} + 2 e^{2 x} x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 e^{2 x} x}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

단계 6.2.3

$x^{4} e^{x} + 2 e^{2 x} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x e^{2 x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

단계 6.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{e^{x} x^{4} + 2 e^{2 x} x}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

단계 6.4

$e^{x} x^{4} + 2 e^{2 x} x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 6.4.1

$e^{x} x^{4}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (e^{x} x^{3}) + 2 e^{2 x} x}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

단계 6.4.2

$2 e^{2 x} x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (e^{x} x^{3}) + x (2 e^{2 x})}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

단계 6.4.3

$x (e^{x} x^{3}) + x (2 e^{2 x})$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (e^{x} x^{3} + 2 e^{2 x})}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

단계 6.5

$\frac{x (e^{x} x^{3} + 2 e^{2 x})}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{x (x^{3} e^{x} + 2 e^{2 x})}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$