미적분 예제

$\int_{1}^{\infty} \frac{e^{- \sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x$

단계 1

$t$ 이 $\infty$ 에 가까워짐에 따라 적분을 극한값으로 씁니다.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{e^{- \sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x$

단계 2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{e^{- x^{\frac{1}{2}}}}{\sqrt{x}} d x$

단계 2.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{e^{- x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

단계 2.3

$x^{\frac{1}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} e^{- x^{\frac{1}{2}}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

단계 2.4

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.4.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} e^{- x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

단계 2.4.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} e^{- x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

단계 2.4.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} e^{- x^{\frac{1}{2}}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 3

먼저 $u = - x^{\frac{1}{2}}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ 이므로 $1 d u = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 3.1

$u = - x^{\frac{1}{2}}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 3.1.1

$- x^{\frac{1}{2}}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

단계 3.1.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{\frac{1}{2}}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 입니다.

$- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

단계 3.1.3

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

단계 3.1.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

단계 3.1.5

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

단계 3.1.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

단계 3.1.7

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.1.7.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

단계 3.1.7.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

단계 3.1.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

단계 3.1.9

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

단계 3.1.10

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 3.2

$u = - x^{\frac{1}{2}}$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = - 1^{\frac{1}{2}}$

단계 3.3

간단히 합니다.

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단계 3.3.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$u_{lower} = - 1 \cdot 1$

단계 3.3.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = - 1$

단계 3.4

$u = - x^{\frac{1}{2}}$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = - t^{\frac{1}{2}}$

단계 3.5

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = - t^{\frac{1}{2}}$

단계 3.6

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$lim_{t \to \infty} \int_{- 1}^{- t^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 2 e^{u} d u$

단계 4

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$lim_{t \to \infty} \int_{- 1}^{- t^{\frac{1}{2}}} - 2 e^{u} d u$

단계 5

$- 2$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$lim_{t \to \infty} - 2 \int_{- 1}^{- t^{\frac{1}{2}}} e^{u} d u$

단계 6

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$lim_{t \to \infty} - 2 (e^{u}]_{- 1}^{- t^{\frac{1}{2}}})$

단계 7

$- t^{\frac{1}{2}}$ , $- 1$ 일 때, $e^{u}$ 값을 계산합니다.

$lim_{t \to \infty} - 2 (e^{- t^{\frac{1}{2}}} - e^{- 1})$

단계 8

극한값을 계산합니다.

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단계 8.1

극한값을 계산합니다.

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단계 8.1.1

$- 2$ 항은 $t$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$- 2 lim_{t \to \infty} e^{- t^{\frac{1}{2}}} - e^{- 1}$

단계 8.1.2

$t$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$- 2 (lim_{t \to \infty} e^{- t^{\frac{1}{2}}} - lim_{t \to \infty} e^{- 1})$

단계 8.2

지수 $- t^{\frac{1}{2}}$ 이 $- \infty$ 에 가까워지기 때문에 수량 $e^{- t^{\frac{1}{2}}}$ 가 $0$ 에 가까워집니다.

$- 2 (0 - lim_{t \to \infty} e^{- 1})$

단계 8.3

극한값을 계산합니다.

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단계 8.3.1

$t$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $e^{- 1}$ 의 극한을 구합니다.

$- 2 (0 - e^{- 1})$

단계 8.3.2

답을 간단히 합니다.

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단계 8.3.2.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 2 (0 - \frac{1}{e})$

단계 8.3.2.2

$0$ 에서 $\frac{1}{e}$ 을 뺍니다.

$- 2 (- \frac{1}{e})$

단계 8.3.2.3

$- 2 (- \frac{1}{e})$ 을 곱합니다.

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단계 8.3.2.3.1

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$2 \frac{1}{e}$

단계 8.3.2.3.2

$2$ 와 $\frac{1}{e}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{e}$

단계 9

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{2}{e}$

소수 형태:

$0.73575888 \dots$