미적분 예제

$\frac{d}{d x} {(1 + \frac{8}{x})}^{x}$

단계 1

로그 성질을 사용하여 미분을 간단히 합니다.

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단계 1.1

${(1 + \frac{8}{x})}^{x}$ 을 $e^{\ln ({(1 + \frac{8}{x})}^{x})}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(1 + \frac{8}{x})}^{x})}]$

단계 1.2

$x$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln ({(1 + \frac{8}{x})}^{x})$ 을 전개합니다.

$\frac{d}{d x} [e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})}]$

단계 2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = x \ln (1 + \frac{8}{x})$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $x \ln (1 + \frac{8}{x})$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x \ln (1 + \frac{8}{x})]$

단계 2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x \ln (1 + \frac{8}{x})]$

단계 2.3

$u_{1}$ 를 모두 $x \ln (1 + \frac{8}{x})$ 로 바꿉니다.

$e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} \frac{d}{d x} [x \ln (1 + \frac{8}{x})]$

단계 3

$f (x) = x$ , $g (x) = \ln (1 + \frac{8}{x})$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} (x \frac{d}{d x} [\ln (1 + \frac{8}{x})] + \ln (1 + \frac{8}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 4

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = 1 + \frac{8}{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $1 + \frac{8}{x}$ 로 바꿉니다.

$e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [1 + \frac{8}{x}]) + \ln (1 + \frac{8}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.2

$\ln (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{2}}$ 입니다.

$e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [1 + \frac{8}{x}]) + \ln (1 + \frac{8}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.3

$u_{2}$ 를 모두 $1 + \frac{8}{x}$ 로 바꿉니다.

$e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} (x (\frac{1}{1 + \frac{8}{x}} \frac{d}{d x} [1 + \frac{8}{x}]) + \ln (1 + \frac{8}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 5

미분합니다.

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단계 5.1

$\frac{1}{1 + \frac{8}{x}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} (\frac{x}{1 + \frac{8}{x}} \frac{d}{d x} [1 + \frac{8}{x}] + \ln (1 + \frac{8}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 5.2

합의 법칙에 의해 $1 + \frac{8}{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$ 가 됩니다.

$e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} (\frac{x}{1 + \frac{8}{x}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]) + \ln (1 + \frac{8}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 5.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} (\frac{x}{1 + \frac{8}{x}} (0 + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]) + \ln (1 + \frac{8}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 5.4

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$ 에 더합니다.

$e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} (\frac{x}{1 + \frac{8}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}] + \ln (1 + \frac{8}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 5.5

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{8}{x}$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 입니다.

$e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} (\frac{x}{1 + \frac{8}{x}} (8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \ln (1 + \frac{8}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 5.6

분수를 통분합니다.

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단계 5.6.1

$8$ 와 $\frac{x}{1 + \frac{8}{x}}$ 을 묶습니다.

$e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} (\frac{8 x}{1 + \frac{8}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \ln (1 + \frac{8}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 5.6.2

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} (\frac{8 x}{1 + \frac{8}{x}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \ln (1 + \frac{8}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 5.7

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} (\frac{8 x}{1 + \frac{8}{x}} (- x^{- 2}) + \ln (1 + \frac{8}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 5.8

$\frac{8 x}{1 + \frac{8}{x}}$ 와 $x^{- 2}$ 을 묶습니다.

$e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} (- \frac{8 x \cdot x^{- 2}}{1 + \frac{8}{x}} + \ln (1 + \frac{8}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 6

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{- 2}$ 을 곱합니다.

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단계 6.1

$x^{- 2}$ 를 옮깁니다.

$e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} (- \frac{8 (x^{- 2} x)}{1 + \frac{8}{x}} + \ln (1 + \frac{8}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 6.2

$x^{- 2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 6.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} (- \frac{8 (x^{- 2} x^{1})}{1 + \frac{8}{x}} + \ln (1 + \frac{8}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 6.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} (- \frac{8 x^{- 2 + 1}}{1 + \frac{8}{x}} + \ln (1 + \frac{8}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 6.3

$- 2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} (- \frac{8 x^{- 1}}{1 + \frac{8}{x}} + \ln (1 + \frac{8}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 7

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 1}$ 를 분모로 이동합니다.

$e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} (- \frac{8}{(1 + \frac{8}{x}) x} + \ln (1 + \frac{8}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} (- \frac{8}{(1 + \frac{8}{x}) x} + \ln (1 + \frac{8}{x}) \cdot 1)$

단계 9

$\ln (1 + \frac{8}{x})$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} (- \frac{8}{(1 + \frac{8}{x}) x} + \ln (1 + \frac{8}{x}))$

단계 10

공통 분모를 가지는 분수로 $\ln (1 + \frac{8}{x})$ 을 표현하기 위해 $\frac{(1 + \frac{8}{x}) x}{(1 + \frac{8}{x}) x}$ 을 곱합니다.

$e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} (- \frac{8}{(1 + \frac{8}{x}) x} + \ln (1 + \frac{8}{x}) \cdot \frac{(1 + \frac{8}{x}) x}{(1 + \frac{8}{x}) x})$

단계 11

$\ln (1 + \frac{8}{x})$ 와 $\frac{(1 + \frac{8}{x}) x}{(1 + \frac{8}{x}) x}$ 을 묶습니다.

$e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} (- \frac{8}{(1 + \frac{8}{x}) x} + \frac{\ln (1 + \frac{8}{x}) ((1 + \frac{8}{x}) x)}{(1 + \frac{8}{x}) x})$

단계 12

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} \frac{- 8 + \ln (1 + \frac{8}{x}) ((1 + \frac{8}{x}) x)}{(1 + \frac{8}{x}) x}$

단계 13

$e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})}$ 와 $\frac{- 8 + \ln (1 + \frac{8}{x}) ((1 + \frac{8}{x}) x)}{(1 + \frac{8}{x}) x}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} (- 8 + \ln (1 + \frac{8}{x}) ((1 + \frac{8}{x}) x))}{(1 + \frac{8}{x}) x}$

단계 14

간단히 합니다.

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단계 14.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} (- 8 + \ln (1 + \frac{8}{x}) (1 x + \frac{8}{x} x))}{(1 + \frac{8}{x}) x}$

단계 14.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} (- 8 + \ln (1 + \frac{8}{x}) (1 x + \frac{8}{x} x))}{1 x + \frac{8}{x} x}$

단계 14.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 14.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 14.3.1.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 14.3.1.1.1

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} (- 8 + \ln (1 + \frac{8}{x}) (x + \frac{8}{x} x))}{1 x + \frac{8}{x} x}$

단계 14.3.1.1.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 14.3.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} (- 8 + \ln (1 + \frac{8}{x}) (x + \frac{8}{x} x))}{1 x + \frac{8}{x} x}$

단계 14.3.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} (- 8 + \ln (1 + \frac{8}{x}) (x + 8))}{1 x + \frac{8}{x} x}$

단계 14.3.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} (- 8 + \ln (1 + \frac{8}{x}) x + \ln (1 + \frac{8}{x}) \cdot 8)}{1 x + \frac{8}{x} x}$

단계 14.3.1.3

$\ln (1 + \frac{8}{x}) \cdot 8$ 을 곱합니다.

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단계 14.3.1.3.1

$\ln (1 + \frac{8}{x})$ 와 $8$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} (- 8 + \ln (1 + \frac{8}{x}) x + 8 \cdot \ln (1 + \frac{8}{x}))}{1 x + \frac{8}{x} x}$

단계 14.3.1.3.2

$8$ 를 로그 안으로 옮겨 $8 \cdot \ln (1 + \frac{8}{x})$ 을 간단히 합니다.

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} (- 8 + \ln (1 + \frac{8}{x}) x + \ln ({(1 + \frac{8}{x})}^{8}))}{1 x + \frac{8}{x} x}$

단계 14.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} \cdot - 8 + e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} (\ln (1 + \frac{8}{x}) x) + e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} \ln ({(1 + \frac{8}{x})}^{8})}{1 x + \frac{8}{x} x}$

단계 14.3.3

$e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})}$ 의 왼쪽으로 $- 8$ 이동하기

$\frac{- 8 \cdot e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} + e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} (\ln (1 + \frac{8}{x}) x) + e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} \ln ({(1 + \frac{8}{x})}^{8})}{1 x + \frac{8}{x} x}$

단계 14.3.4

$- 8 e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} + e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} (\ln (1 + \frac{8}{x}) x) + e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} \ln ({(1 + \frac{8}{x})}^{8})$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{- 8 e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} + x e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} \ln (1 + \frac{8}{x}) + e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} \ln ({(1 + \frac{8}{x})}^{8})}{1 x + \frac{8}{x} x}$

단계 14.4

항을 묶습니다.

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단계 14.4.1

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 8 e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} + x e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} \ln (1 + \frac{8}{x}) + e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} \ln ({(1 + \frac{8}{x})}^{8})}{x + \frac{8}{x} x}$

단계 14.4.2

$\frac{8}{x}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{- 8 e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} + x e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} \ln (1 + \frac{8}{x}) + e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} \ln ({(1 + \frac{8}{x})}^{8})}{x + \frac{8 x}{x}}$

단계 14.4.3

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 14.4.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 8 e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} + x e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} \ln (1 + \frac{8}{x}) + e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} \ln ({(1 + \frac{8}{x})}^{8})}{x + \frac{8 x}{x}}$

단계 14.4.3.2

$8$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{- 8 e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} + x e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} \ln (1 + \frac{8}{x}) + e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} \ln ({(1 + \frac{8}{x})}^{8})}{x + 8}$

단계 14.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} x \ln (1 + \frac{8}{x}) + e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} \ln ({(1 + \frac{8}{x})}^{8}) - 8 e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})}}{x + 8}$