미적분 예제

$y'''' + 2 y = 0$ , $y = 3 e^{- 2 x}$

단계 1

$y'$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (3 e^{- 2 x})$

단계 1.2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 1.3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 e^{- 2 x}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

단계 1.3.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- 2 x$ 로 바꿉니다.

$3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x])$

단계 1.3.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

단계 1.3.2.3

$u$ 를 모두 $- 2 x$ 로 바꿉니다.

$3 (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

단계 1.3.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.3.3.2

$- 2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 6 e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 6 e^{- 2 x} \cdot 1$

단계 1.3.3.4

$- 6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 6 e^{- 2 x}$

단계 1.4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = - 6 e^{- 2 x}$

단계 2

$y''$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

도함수를 구합니다.

$y'' = \frac{d}{d x} [- 6 e^{- 2 x}]$

단계 2.2

$- 6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 6 e^{- 2 x}$ 의 미분은 $- 6 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ 입니다.

$y'' = - 6 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

단계 2.3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- 2 x$ 로 바꿉니다.

$y'' = - 6 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x])$

단계 2.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y'' = - 6 (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

단계 2.3.3

$u$ 를 모두 $- 2 x$ 로 바꿉니다.

$y'' = - 6 (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

단계 2.4

괄호를 제거합니다.

$y'' = - 6 e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

단계 2.5

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$y'' = - 6 e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.6

$- 2$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$y'' = 12 e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y'' = 12 e^{- 2 x} \cdot 1$

단계 2.8

$12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y'' = 12 e^{- 2 x}$

단계 3

$y'''$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

도함수를 구합니다.

$y''' = \frac{d}{d x} [12 e^{- 2 x}]$

단계 3.2

$12$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $12 e^{- 2 x}$ 의 미분은 $12 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ 입니다.

$y''' = 12 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

단계 3.3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- 2 x$ 로 바꿉니다.

$y''' = 12 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x])$

단계 3.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y''' = 12 (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

단계 3.3.3

$u$ 를 모두 $- 2 x$ 로 바꿉니다.

$y''' = 12 (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

단계 3.4

괄호를 제거합니다.

$y''' = 12 e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

단계 3.5

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$y''' = 12 e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.6

$- 2$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$y''' = - 24 e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y''' = - 24 e^{- 2 x} \cdot 1$

단계 3.8

$- 24$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y''' = - 24 e^{- 2 x}$

단계 4

$y''''$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

도함수를 구합니다.

$y'''' = \frac{d}{d x} [- 24 e^{- 2 x}]$

단계 4.2

$- 24$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 24 e^{- 2 x}$ 의 미분은 $- 24 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ 입니다.

$y'''' = - 24 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

단계 4.3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- 2 x$ 로 바꿉니다.

$y'''' = - 24 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x])$

단계 4.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y'''' = - 24 (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

단계 4.3.3

$u$ 를 모두 $- 2 x$ 로 바꿉니다.

$y'''' = - 24 (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

단계 4.4

괄호를 제거합니다.

$y'''' = - 24 e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

단계 4.5

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$y'''' = - 24 e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.6

$- 2$ 에 $- 24$ 을 곱합니다.

$y'''' = 48 e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

단계 4.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y'''' = 48 e^{- 2 x} \cdot 1$

단계 4.8

$48$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y'''' = 48 e^{- 2 x}$

단계 5

주어진 미분 방정식에 대입합니다.

$48 e^{- 2 x} + 2 (3 e^{- 2 x}) = 0$

단계 6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$48 e^{- 2 x} + 6 e^{- 2 x} = 0$

단계 6.2

$48 e^{- 2 x}$ 를 $6 e^{- 2 x}$ 에 더합니다.

$54 e^{- 2 x} = 0$

단계 7

주어진 해는 주어진 미분 방정식을 만족하지 않습니다.

$y = 3 e^{- 2 x}$ 이 $y'''' + 2 y = 0$ 의 해가 아닙니다.