미적분 예제

$y = {(\ln (x))}^{\ln (x)}$

단계 1

$y = f (x)$ 로 두고, 양변 $\ln (y) = \ln (f (x))$ 에 자연 로그를 취합니다.

$\ln (y) = \ln ({(\ln (x))}^{\ln (x)})$

단계 2

$\ln (x)$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln ({(\ln (x))}^{\ln (x)})$ 을 전개합니다.

$\ln (y) = \ln (x) \ln (\ln (x))$

단계 3

연쇄 법칙을 사용하여 식을 미분합니다. $y$ 이 $x$ 의 함수라는 점에 유의하십시오.

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단계 3.1

연쇄 법칙을 사용해 좌측 변 $\ln (y)$ 을 미분합니다.

$\frac{y'}{y} = \ln (x) \ln (\ln (x))$

단계 3.2

우측 변을 미분합니다.

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단계 3.2.1

$\ln (x) \ln (\ln (x))$ 를 미분합니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (\ln (x))]$

단계 3.2.2

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = \ln (\ln (x))$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{y'}{y} = \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

단계 3.2.3

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\ln (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

단계 3.2.3.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

단계 3.2.3.3

$u$ 를 모두 $\ln (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\frac{1}{\ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

단계 3.2.4

항을 간단히 합니다.

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단계 3.2.4.1

$\frac{1}{\ln (x)}$ 와 $\ln (x)$ 을 묶습니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{\ln (x)}{\ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

단계 3.2.4.2

$\ln (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.2.4.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{\ln (x)}{\ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

단계 3.2.4.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y'}{y} = 1 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

단계 3.2.4.3

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

단계 3.2.5

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x} + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

단계 3.2.6

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x} + \ln (\ln (x)) \frac{1}{x}$

단계 3.2.7

$\ln (\ln (x))$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x} + \frac{\ln (\ln (x))}{x}$

단계 4

$y'$ 을 분리하고 우변의 $y$ 에 원래 함수를 대입합니다.

$y' = (\frac{1}{x} + \frac{\ln (\ln (x))}{x}) {(\ln (x))}^{\ln (x)}$

단계 5

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y' = \frac{1}{x} {\ln (x)}^{\ln (x)} + \frac{\ln (\ln (x))}{x} {\ln (x)}^{\ln (x)}$

단계 5.2

$\frac{1}{x}$ 와 ${\ln (x)}^{\ln (x)}$ 을 묶습니다.

$y' = \frac{{\ln (x)}^{\ln (x)}}{x} + \frac{\ln (\ln (x))}{x} {\ln (x)}^{\ln (x)}$

단계 5.3

$\frac{\ln (\ln (x))}{x}$ 와 ${\ln (x)}^{\ln (x)}$ 을 묶습니다.

$y' = \frac{{\ln (x)}^{\ln (x)}}{x} + \frac{\ln (\ln (x)) {\ln (x)}^{\ln (x)}}{x}$

단계 5.4

$\frac{{\ln (x)}^{\ln (x)}}{x} + \frac{\ln (\ln (x)) {\ln (x)}^{\ln (x)}}{x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y' = \frac{{\ln (x)}^{\ln (x)}}{x} + \frac{{\ln (x)}^{\ln (x)} \ln (\ln (x))}{x}$