미적분 예제

$y = \ln (e^{- x} + x e^{- x})$

단계 1

$y = f (x)$ 로 두고, 양변 $\ln (y) = \ln (f (x))$ 에 자연 로그를 취합니다.

$\ln (y) = \ln (\ln (e^{- x} + x e^{- x}))$

단계 2

연쇄 법칙을 사용하여 식을 미분합니다. $y$ 이 $x$ 의 함수라는 점에 유의하십시오.

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단계 2.1

연쇄 법칙을 사용해 좌측 변 $\ln (y)$ 을 미분합니다.

$\frac{y'}{y} = \ln (\ln (e^{- x} + x e^{- x}))$

단계 2.2

우측 변을 미분합니다.

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단계 2.2.1

$\ln (\ln (e^{- x} + x e^{- x}))$ 를 미분합니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\ln (\ln (e^{- x} + x e^{- x}))]$

단계 2.2.2

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = \ln (e^{- x} + x e^{- x})$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\ln (e^{- x} + x e^{- x})$ 로 바꿉니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (e^{- x} + x e^{- x})]$

단계 2.2.2.2

$\ln (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1}}$ 입니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (e^{- x} + x e^{- x})]$

단계 2.2.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $\ln (e^{- x} + x e^{- x})$ 로 바꿉니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\ln (e^{- x} + x e^{- x})} \frac{d}{d x} [\ln (e^{- x} + x e^{- x})]$

단계 2.2.3

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = e^{- x} + x e^{- x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $e^{- x} + x e^{- x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\ln (e^{- x} + x e^{- x})} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [e^{- x} + x e^{- x}])$

단계 2.2.3.2

$\ln (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{2}}$ 입니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\ln (e^{- x} + x e^{- x})} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x} + x e^{- x}])$

단계 2.2.3.3

$u_{2}$ 를 모두 $e^{- x} + x e^{- x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\ln (e^{- x} + x e^{- x})} (\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} \frac{d}{d x} [e^{- x} + x e^{- x}])$

단계 2.2.4

합의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.4.1

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}}$ 에 $\frac{1}{\ln (e^{- x} + x e^{- x})}$ 을 곱합니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} \frac{d}{d x} [e^{- x} + x e^{- x}]$

단계 2.2.4.2

합의 법칙에 의해 $e^{- x} + x e^{- x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ 가 됩니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

단계 2.2.5

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.5.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{3}$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

단계 2.2.5.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ 은 $a^{u_{3}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

단계 2.2.5.3

$u_{3}$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

단계 2.2.6

미분합니다.

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단계 2.2.6.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

단계 2.2.6.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (e^{- x} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

단계 2.2.6.3

식을 간단히 합니다.

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단계 2.2.6.3.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (e^{- x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

단계 2.2.6.3.2

$e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- 1 \cdot e^{- x} + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

단계 2.2.6.3.3

$- 1 e^{- x}$ 을 $- e^{- x}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x} + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

단계 2.2.7

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{- x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x} + x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.2.8

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.8.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{4}$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x} + x (\frac{d}{d u_{4}} [e^{u_{4}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.2.8.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{4}} [a^{u_{4}}]$ 은 $a^{u_{4}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x} + x (e^{u_{4}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.2.8.3

$u_{4}$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x} + x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.2.9

미분합니다.

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단계 2.2.9.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x} + x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.2.9.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x} + x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.2.9.3

식을 간단히 합니다.

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단계 2.2.9.3.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x} + x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.2.9.3.2

$e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x} + x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.2.9.3.3

$- 1 e^{- x}$ 을 $- e^{- x}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x} + x (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.2.9.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x} + x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1)$

단계 2.2.9.5

항을 간단히 합니다.

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단계 2.2.9.5.1

$e^{- x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x} + x (- e^{- x}) + e^{- x})$

단계 2.2.9.5.2

$- e^{- x}$ 를 $e^{- x}$ 에 더합니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (x (- e^{- x}) + 0)$

단계 2.2.9.5.3

$x (- e^{- x})$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (x (- e^{- x}))$

단계 2.2.9.5.4

$x$ 와 $\frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})}$ 을 묶습니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{x}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x})$

단계 2.2.9.5.5

$\frac{x}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})}$ 와 $e^{- x}$ 을 묶습니다.

$\frac{y'}{y} = - \frac{x e^{- x}}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})}$

단계 2.2.10

간단히 합니다.

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단계 2.2.10.1

$e^{- x} + x e^{- x}$ 에서 $e^{- x}$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.2.10.1.1

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{y'}{y} = - \frac{x e^{- x}}{(e^{- x} \cdot 1 + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})}$

단계 2.2.10.1.2

$x e^{- x}$ 에서 $e^{- x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y'}{y} = - \frac{x e^{- x}}{(e^{- x} \cdot 1 + e^{- x} x) \ln (e^{- x} + x e^{- x})}$

단계 2.2.10.1.3

$e^{- x} \cdot 1 + e^{- x} x$ 에서 $e^{- x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y'}{y} = - \frac{x e^{- x}}{e^{- x} (1 + x) \ln (e^{- x} + x e^{- x})}$

단계 2.2.10.2

$e^{- x}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.2.10.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y'}{y} = - \frac{x e^{- x}}{e^{- x} (1 + x) \ln (e^{- x} + x e^{- x})}$

단계 2.2.10.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y'}{y} = - \frac{x}{(1 + x) \ln (e^{- x} + x e^{- x})}$

단계 2.2.10.3

$- \frac{x}{(1 + x) \ln (e^{- x} + x e^{- x})}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{y'}{y} = - \frac{x}{\ln (e^{- x} + x e^{- x}) (1 + x)}$

단계 3

$y'$ 을 분리하고 우변의 $y$ 에 원래 함수를 대입합니다.

$y' = - \frac{x}{\ln (e^{- x} + x e^{- x}) (1 + x)} \ln (e^{- x} + x e^{- x})$

단계 4

우변을 간단히 합니다.

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단계 4.1

$\ln (e^{- x} + x e^{- x})$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.1.1

$- \frac{x}{\ln (e^{- x} + x e^{- x}) (1 + x)}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$y' = \frac{- x}{\ln (e^{- x} + x e^{- x}) (1 + x)} \ln (e^{- x} + x e^{- x})$

단계 4.1.2

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{- x}{\ln (e^{- x} + x e^{- x}) (1 + x)} \ln (e^{- x} + x e^{- x})$

단계 4.1.3

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{- x}{1 + x}$

단계 4.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{x}{1 + x}$