미적분 예제

$\int_{0}^{\infty} x e^{- 2 x} d x$

단계 1

$t$ 이 $\infty$ 에 가까워짐에 따라 적분을 극한값으로 씁니다.

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- 2 x} d x$

단계 2

$u = x$ 이고 $d v = e^{- 2 x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$lim_{t \to \infty} x (- \frac{1}{2} e^{- 2 x})]_{0}^{t} - \int_{0}^{t} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$e^{- 2 x}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$lim_{t \to \infty} x (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{0}^{t} - \int_{0}^{t} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

단계 3.2

$x$ 와 $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ 을 묶습니다.

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} - \int_{0}^{t} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

단계 4

$- \frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- \frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} - (- \frac{1}{2} \int_{0}^{t} e^{- 2 x} d x)$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} + 1 (\frac{1}{2} \int_{0}^{t} e^{- 2 x} d x)$

단계 5.2

$\frac{1}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} + \frac{1}{2} \int_{0}^{t} e^{- 2 x} d x$

단계 6

먼저 $u = - 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - 2 d x$ 이므로 $- \frac{1}{2} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 6.1

$u = - 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 6.1.1

$- 2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

단계 6.1.2

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 6.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 \cdot 1$

단계 6.1.4

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2$

단계 6.2

$u = - 2 x$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = - 2 \cdot 0$

단계 6.3

$- 2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 0$

단계 6.4

$u = - 2 x$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = - 2 t$

단계 6.5

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2 t$

단계 6.6

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

단계 7.2

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2 t} - \frac{e^{u}}{2} d u$

단계 8

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} + \frac{1}{2} (- \int_{0}^{- 2 t} \frac{e^{u}}{2} d u)$

단계 9

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} d u))$

단계 10

간단히 합니다.

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단계 10.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} d u$

단계 10.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} - \frac{1}{4} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} d u$

단계 11

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} - \frac{1}{4} e^{u}]_{0}^{- 2 t}$

단계 12

$e^{u}]_{0}^{- 2 t}$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} - \frac{e^{u}]_{0}^{- 2 t}}{4}$

단계 13

대입하여 간단히 합니다.

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단계 13.1

$t$ , $0$ 일 때, $- \frac{x e^{- 2 x}}{2}$ 값을 계산합니다.

$lim_{t \to \infty} (- \frac{t e^{- 2 t}}{2}) + \frac{0 e^{- 2 \cdot 0}}{2} - \frac{e^{u}]_{0}^{- 2 t}}{4}$

단계 13.2

$- 2 t$ , $0$ 일 때, $e^{u}$ 값을 계산합니다.

$lim_{t \to \infty} (- \frac{t e^{- 2 t}}{2}) + \frac{0 e^{- 2 \cdot 0}}{2} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

단계 13.3

간단히 합니다.

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단계 13.3.1

$- 2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{0 e^{0}}{2} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

단계 13.3.2

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{0 \cdot 1}{2} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

단계 13.3.3

$0$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{0}{2} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

단계 13.3.4

$0$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 13.3.4.1

$0$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{2 (0)}{2} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

단계 13.3.4.2

공약수로 약분합니다.

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단계 13.3.4.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

단계 13.3.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

단계 13.3.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{0}{1} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

단계 13.3.4.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} + 0 - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

단계 13.3.5

$- \frac{t e^{- 2 t}}{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

단계 13.3.6

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} - \frac{e^{- 2 t} - 1 \cdot 1}{4}$

단계 13.3.7

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} - \frac{e^{- 2 t} - 1}{4}$

단계 13.3.8

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{t e^{- 2 t}}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{- 2 t} - 1}{4}$

단계 13.3.9

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $4$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 13.3.9.1

$\frac{t e^{- 2 t}}{2}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t} \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{e^{- 2 t} - 1}{4}$

단계 13.3.9.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t} \cdot 2}{4} - \frac{e^{- 2 t} - 1}{4}$

단계 13.3.10

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{- t e^{- 2 t} \cdot 2 - (e^{- 2 t} - 1)}{4}$

단계 13.3.11

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{- 2 t e^{- 2 t} - (e^{- 2 t} - 1)}{4}$

단계 14

간단히 합니다.

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단계 14.1

$- 2 t e^{- 2 t}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{- (2 t e^{- 2 t}) - (e^{- 2 t} - 1)}{4}$

단계 14.2

$- (2 t e^{- 2 t}) - (e^{- 2 t} - 1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{- (2 t e^{- 2 t} + e^{- 2 t} - 1)}{4}$

단계 14.3

$- (2 t e^{- 2 t} + e^{- 2 t} - 1)$ 을 $- 1 (2 t e^{- 2 t} + e^{- 2 t} - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{- 1 (2 t e^{- 2 t} + e^{- 2 t} - 1)}{4}$

단계 14.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$lim_{t \to \infty} - \frac{2 t e^{- 2 t} + e^{- 2 t} - 1}{4}$

단계 15

극한값을 계산합니다.

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단계 15.1

$- 1$ 항은 $t$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$- lim_{t \to \infty} \frac{2 t e^{- 2 t} + e^{- 2 t} - 1}{4}$

단계 15.2

$\frac{1}{4}$ 항은 $t$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$- \frac{1}{4} lim_{t \to \infty} 2 t e^{- 2 t} + e^{- 2 t} - 1$

단계 15.3

$t$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$- \frac{1}{4} (lim_{t \to \infty} 2 t e^{- 2 t} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

단계 15.4

$2$ 항은 $t$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} t e^{- 2 t} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

단계 15.5

$t e^{- 2 t}$ 을 $\frac{t}{e^{2 t}}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{2 t}} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

단계 15.6

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 15.6.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 15.6.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$- \frac{1}{4} (2 \frac{lim_{t \to \infty} t}{lim_{t \to \infty} e^{2 t}} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

단계 15.6.1.2

최고차항이 양수인 다항식에 대한 무한대에서의 극한값은 무한대입니다.

$- \frac{1}{4} (2 \frac{\infty}{lim_{t \to \infty} e^{2 t}} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

단계 15.6.1.3

지수 $2 t$ 이 $\infty$ 에 가까워지기 때문에 수량 $e^{2 t}$ 가 $\infty$ 에 가까워집니다.

$- \frac{1}{4} (2 \frac{\infty}{\infty} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

단계 15.6.1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$- \frac{1}{4} (2 \frac{\infty}{\infty} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

단계 15.6.2

$\frac{\infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{2 t}} = lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [e^{2 t}]}$

단계 15.6.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 15.6.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [e^{2 t}]} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

단계 15.6.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d t} [e^{2 t}]} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

단계 15.6.3.3

$f (t) = e^{t}$ , $g (t) = 2 t$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.6.3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 t$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [2 t]} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

단계 15.6.3.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d t} [2 t]} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

단계 15.6.3.3.3

$u$ 를 모두 $2 t$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{2 t} \frac{d}{d t} [2 t]} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

단계 15.6.3.4

$2$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $2 t$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{2 t} \cdot 2 \frac{d}{d t} [t]} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

단계 15.6.3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{2 t} \cdot 2 \cdot 1} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

단계 15.6.3.6

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{2 t} \cdot 2} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

단계 15.6.3.7

$e^{2 t}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{2 e^{2 t}} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

단계 15.7

$\frac{1}{2}$ 항은 $t$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$- \frac{1}{4} (2 (\frac{1}{2}) lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{2 t}} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

단계 15.8

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{e^{2 t}}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$- \frac{1}{4} (2 (\frac{1}{2}) \cdot 0 + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

단계 15.9

$\frac{1}{2}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{4} (2 \cdot 0 + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

단계 15.10

지수 $- 2 t$ 이 $- \infty$ 에 가까워지기 때문에 수량 $e^{- 2 t}$ 가 $0$ 에 가까워집니다.

$- \frac{1}{4} (2 \cdot 0 + 0 - lim_{t \to \infty} 1)$

단계 15.11

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.11.1

$t$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$- \frac{1}{4} (2 \cdot 0 + 0 - 1 \cdot 1)$

단계 15.11.2

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.11.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.11.2.1.1

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{4} (0 + 0 - 1 \cdot 1)$

단계 15.11.2.1.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{4} (0 + 0 - 1)$

단계 15.11.2.2

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \frac{1}{4} (0 - 1)$

단계 15.11.2.3

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$- \frac{1}{4} \cdot - 1$

단계 15.11.2.4

$- \frac{1}{4} \cdot - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.11.2.4.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 (\frac{1}{4})$

단계 15.11.2.4.2

$\frac{1}{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4}$

단계 16

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{1}{4}$

소수 형태:

$0.25$