미적분 예제

$- \frac{2 x + y}{x + 2 y}$

단계 1

$f (y) = - 1$ , $g (y) = \frac{2 x + y}{x + 2 y}$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 는 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{d}{d y} [\frac{2 x + y}{x + 2 y}] + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

단계 2

$f (y) = 2 x + y$ , $g (y) = x + 2 y$ 일 때 $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ 는 $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{(x + 2 y) \frac{d}{d y} [2 x + y] - (2 x + y) \frac{d}{d y} [x + 2 y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

단계 3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

합의 법칙에 의해 $2 x + y$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [y]$ 가 됩니다.

$- \frac{(x + 2 y) (\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [y]) - (2 x + y) \frac{d}{d y} [x + 2 y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

단계 3.2

$2 x$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $2 x$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $2 x$ 입니다.

$- \frac{(x + 2 y) (0 + \frac{d}{d y} [y]) - (2 x + y) \frac{d}{d y} [x + 2 y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

단계 3.3

$0$ 를 $\frac{d}{d y} [y]$ 에 더합니다.

$- \frac{(x + 2 y) \frac{d}{d y} [y] - (2 x + y) \frac{d}{d y} [x + 2 y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

단계 3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{(x + 2 y) \cdot 1 - (2 x + y) \frac{d}{d y} [x + 2 y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

단계 3.5

$x + 2 y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{x + 2 y - (2 x + y) \frac{d}{d y} [x + 2 y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

단계 3.6

합의 법칙에 의해 $x + 2 y$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y]$ 가 됩니다.

$- \frac{x + 2 y - (2 x + y) (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y])}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

단계 3.7

$x$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $x$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $x$ 입니다.

$- \frac{x + 2 y - (2 x + y) (0 + \frac{d}{d y} [2 y])}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

단계 3.8

$0$ 를 $\frac{d}{d y} [2 y]$ 에 더합니다.

$- \frac{x + 2 y - (2 x + y) \frac{d}{d y} [2 y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

단계 3.9

$2$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $2 y$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$- \frac{x + 2 y - (2 x + y) (2 \frac{d}{d y} [y])}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

단계 3.10

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{x + 2 y - 2 (2 x + y) \frac{d}{d y} [y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

단계 3.11

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{x + 2 y - 2 (2 x + y) \cdot 1}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

단계 3.12

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{x + 2 y - 2 (2 x + y)}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

단계 3.13

$- 1$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$- \frac{x + 2 y - 2 (2 x + y)}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \cdot 0$

단계 3.14

식을 간단히 합니다.

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단계 3.14.1

$\frac{2 x + y}{x + 2 y}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$- \frac{x + 2 y - 2 (2 x + y)}{{(x + 2 y)}^{2}} + 0$

단계 3.14.2

$- \frac{x + 2 y - 2 (2 x + y)}{{(x + 2 y)}^{2}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \frac{x + 2 y - 2 (2 x + y)}{{(x + 2 y)}^{2}}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- \frac{x + 2 y - 2 (2 x) - 2 y}{{(x + 2 y)}^{2}}$

단계 4.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$x + 2 y - 2 (2 x) - 2 y$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 4.2.1.1

$2 y$ 에서 $2 y$ 을 뺍니다.

$- \frac{x - 2 (2 x) + 0}{{(x + 2 y)}^{2}}$

단계 4.2.1.2

$x - 2 (2 x)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \frac{x - 2 (2 x)}{{(x + 2 y)}^{2}}$

단계 4.2.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- \frac{x - 4 x}{{(x + 2 y)}^{2}}$

단계 4.2.3

$x$ 에서 $4 x$ 을 뺍니다.

$- \frac{- 3 x}{{(x + 2 y)}^{2}}$

단계 4.3

항을 묶습니다.

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단계 4.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- - \frac{3 x}{{(x + 2 y)}^{2}}$

단계 4.3.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 \frac{3 x}{{(x + 2 y)}^{2}}$

단계 4.3.3

$\frac{3 x}{{(x + 2 y)}^{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x}{{(x + 2 y)}^{2}}$