미적분 예제

$\frac{x^{2} - x + 1}{x^{2} + x + 1}$

단계 1

$f (x) = x^{2} - x + 1$ , $g (x) = x^{2} + x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} + x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1] - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} - x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{(x^{2} + x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 2.3

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 2.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 2.6

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x - 1 + 0) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 2.7

$2 x - 1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x - 1) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 2.8

합의 법칙에 의해 $x^{2} + x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x - 1) - (x^{2} - x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 2.9

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x - 1) - (x^{2} - x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 2.10

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x - 1) - (x^{2} - x + 1) (2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 2.11

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x - 1) - (x^{2} - x + 1) (2 x + 1 + 0)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 2.12

$2 x + 1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x - 1) - (x^{2} - x + 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x - 1) + (- x^{2} - - x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 3.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(x^{2} + x + 1) (2 x - 1)$ 를 전개합니다.

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 1 + x (2 x) + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 3.2.1.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.2.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + x (2 x) + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 3.2.1.2.2

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.2.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 1 + x (2 x) + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 3.2.1.2.2.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.2.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 1 + x (2 x) + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 3.2.1.2.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 1 + x (2 x) + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 3.2.1.2.2.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot - 1 + x (2 x) + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 3.2.1.2.3

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\frac{2 x^{3} - 1 \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 3.2.1.2.4

$- 1 x^{2}$ 을 $- x^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + x (2 x) + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 3.2.1.2.5

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 2 x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 3.2.1.2.6

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.2.6.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 2 (x \cdot x) + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 3.2.1.2.6.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 2 x^{2} + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 3.2.1.2.7

$x$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 2 x^{2} - 1 \cdot x + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 3.2.1.2.8

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 2 x^{2} - x + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 3.2.1.2.9

$2 x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 2 x^{2} - x + 2 x + 1 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 3.2.1.2.10

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 2 x^{2} - x + 2 x - 1 + (- x^{2} - - x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 3.2.1.3

$- x^{2}$ 를 $2 x^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{2 x^{3} + x^{2} - x + 2 x - 1 + (- x^{2} - - x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 3.2.1.4

$- x$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 + (- x^{2} - - x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 3.2.1.5

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.5.1

$- - x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.5.1.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 + (- x^{2} + 1 x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 3.2.1.5.1.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 + (- x^{2} + x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 3.2.1.5.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 + (- x^{2} + x - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 3.2.1.6

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(- x^{2} + x - 1) (2 x + 1)$ 를 전개합니다.

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 1 + x (2 x) + x \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 3.2.1.7

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.7.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot 1 + x (2 x) + x \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 3.2.1.7.2

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.7.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + x (2 x) + x \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 3.2.1.7.2.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.7.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + x (2 x) + x \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 3.2.1.7.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 - 1 \cdot 2 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot 1 + x (2 x) + x \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 3.2.1.7.2.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 - 1 \cdot 2 x^{3} - x^{2} \cdot 1 + x (2 x) + x \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 3.2.1.7.3

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 - 2 x^{3} - x^{2} \cdot 1 + x (2 x) + x \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 3.2.1.7.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 - 2 x^{3} - x^{2} + x (2 x) + x \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 3.2.1.7.5

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 - 2 x^{3} - x^{2} + 2 x \cdot x + x \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 3.2.1.7.6

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.7.6.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 - 2 x^{3} - x^{2} + 2 (x \cdot x) + x \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 3.2.1.7.6.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 - 2 x^{3} - x^{2} + 2 x^{2} + x \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 3.2.1.7.7

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 - 2 x^{3} - x^{2} + 2 x^{2} + x - 1 (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 3.2.1.7.8

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 - 2 x^{3} - x^{2} + 2 x^{2} + x - 2 x - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 3.2.1.7.9

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 - 2 x^{3} - x^{2} + 2 x^{2} + x - 2 x - 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 3.2.1.8

$- x^{2}$ 를 $2 x^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 - 2 x^{3} + x^{2} + x - 2 x - 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 3.2.1.9

$x$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 - 2 x^{3} + x^{2} - x - 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 3.2.2

$2 x^{3} + x^{2} + x - 1 - 2 x^{3} + x^{2} - x - 1$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$2 x^{3}$ 에서 $2 x^{3}$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{2} + x - 1 + 0 + x^{2} - x - 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 3.2.2.2

$x^{2} + x - 1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} + x - 1 + x^{2} - x - 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 3.2.2.3

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{2} - 1 + x^{2} + 0 - 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 3.2.2.4

$x^{2} - 1 + x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} - 1 + x^{2} - 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 3.2.3

$x^{2}$ 를 $x^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{2 x^{2} - 1 - 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 3.2.4

$- 1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{2 x^{2} - 2}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 3.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$2 x^{2} - 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1

$2 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (x^{2}) - 2}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 3.3.1.2

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (- 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 3.3.1.3

$2 (x^{2}) + 2 (- 1)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (x^{2} - 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 3.3.2

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 (x^{2} - 1^{2})}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 3.3.3

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$\frac{2 (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$