미적분 예제

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos (x)}{x}$

단계 1

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 1.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 1.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2

분자의 극한을 구하세요.

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단계 1.1.2.1

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 곱의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.2

사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.3

코사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.4

$x$ 가 있는 모든 곳에 $0$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 1.1.2.4.1

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{\sin (0) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.4.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{\sin (0) \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.5

답을 간단히 합니다.

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단계 1.1.2.5.1

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{0 \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.5.2

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\frac{0 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.5.3

$0$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.3

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 1.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.2

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = \cos (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.3

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.4

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.5

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$lim_{x \to 0} \frac{- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.7

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.8

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.9

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.10

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.11

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.12

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.13

간단히 합니다.

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단계 1.3.13.1

$- \sin^{2} (x)$ 와 $\cos^{2} (x)$ 을 다시 정렬합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.13.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = \cos (x)$ 이고 $b = \sin (x)$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.13.3

FOIL 계산법을 이용하여 $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ 를 전개합니다.

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단계 1.3.13.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.13.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.13.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.13.4

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 1.3.13.4.1

인수가 항 $\cos (x) (- \sin (x))$ 과(와) $\sin (x) \cos (x)$ (으)로 표현되도록 다시 정렬합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.13.4.2

$- \cos (x) \sin (x)$ 를 $\cos (x) \sin (x)$ 에 더합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \cos (x) + 0 + \sin (x) (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.13.4.3

$\cos (x) \cos (x)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.13.5

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.3.13.5.1

$\cos (x) \cos (x)$ 을 곱합니다.

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단계 1.3.13.5.1.1

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.13.5.1.2

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.13.5.1.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$lim_{x \to 0} \frac{{\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.13.5.1.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.13.5.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.13.5.3

$- \sin (x) \sin (x)$ 을 곱합니다.

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단계 1.3.13.5.3.1

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.13.5.3.2

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.13.5.3.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.13.5.3.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.13.6

코사인 배각공식을 적용합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.14

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x)}{1}$

단계 1.4

$\cos (2 x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$lim_{x \to 0} \cos (2 x)$

단계 2

극한값을 계산합니다.

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단계 2.1

코사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$\cos (lim_{x \to 0} 2 x)$

단계 2.2

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\cos (2 lim_{x \to 0} x)$

단계 3

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\cos (2 \cdot 0)$

단계 4

답을 간단히 합니다.

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단계 4.1

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\cos (0)$

단계 4.2

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$1$