미적분 예제

$y^{3} = \frac{x - y}{x + y}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y^{3}) = \frac{d}{d x} (\frac{x - y}{x + y})$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.1.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.1.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$3 y^{2} y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$f (x) = x - y$ , $g (x) = x + y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x + y) \frac{d}{d x} [x - y] - (x - y) \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

단계 3.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

합의 법칙에 의해 $x - y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ 가 됩니다.

$\frac{(x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]) - (x - y) \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

단계 3.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x + y) (1 + \frac{d}{d x} [- y]) - (x - y) \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

단계 3.2.3

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- y$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [y]$ 입니다.

$\frac{(x + y) (1 - \frac{d}{d x} [y]) - (x - y) \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{(x + y) (1 - y') - (x - y) \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

단계 3.4

합의 법칙에 의해 $x + y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ 가 됩니다.

$\frac{(x + y) (1 - y') - (x - y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

단계 3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x + y) (1 - y') - (x - y) (1 + \frac{d}{d x} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

단계 3.6

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{(x + y) (1 - y') - (x - y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

단계 3.7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(x + y) (1 - y') + (- x - - y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

단계 3.7.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.2.1.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(x + y) (1 - y')$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.2.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x (1 - y') + y (1 - y') + (- x - - y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

단계 3.7.2.1.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x \cdot 1 + x (- y') + y (1 - y') + (- x - - y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

단계 3.7.2.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x \cdot 1 + x (- y') + y \cdot 1 + y (- y') + (- x - - y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

단계 3.7.2.1.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.2.1.2.1

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x + x (- y') + y \cdot 1 + y (- y') + (- x - - y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

단계 3.7.2.1.2.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{x - x y' + y \cdot 1 + y (- y') + (- x - - y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

단계 3.7.2.1.2.3

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x - x y' + y + y (- y') + (- x - - y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

단계 3.7.2.1.2.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{x - x y' + y - y y' + (- x - - y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

단계 3.7.2.1.3

$- - y$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.2.1.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{x - x y' + y - y y' + (- x + 1 y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

단계 3.7.2.1.3.2

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x - x y' + y - y y' + (- x + y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

단계 3.7.2.1.4

FOIL 계산법을 이용하여 $(- x + y) (1 + y')$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.2.1.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x - x y' + y - y y' - x (1 + y') + y (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

단계 3.7.2.1.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x - x y' + y - y y' - x \cdot 1 - x y' + y (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

단계 3.7.2.1.4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x - x y' + y - y y' - x \cdot 1 - x y' + y \cdot 1 + y y'}{{(x + y)}^{2}}$

단계 3.7.2.1.5

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.2.1.5.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x - x y' + y - y y' - x - x y' + y \cdot 1 + y y'}{{(x + y)}^{2}}$

단계 3.7.2.1.5.2

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x - x y' + y - y y' - x - x y' + y + y y'}{{(x + y)}^{2}}$

단계 3.7.2.2

$x - x y' + y - y y' - x - x y' + y + y y'$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.2.2.1

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{- x y' + y - y y' + 0 - x y' + y + y y'}{{(x + y)}^{2}}$

단계 3.7.2.2.2

$- x y' + y - y y'$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{- x y' + y - y y' - x y' + y + y y'}{{(x + y)}^{2}}$

단계 3.7.2.2.3

$- y y'$ 를 $y y'$ 에 더합니다.

$\frac{- x y' + y - x y' + y + 0}{{(x + y)}^{2}}$

단계 3.7.2.2.4

$- x y' + y - x y' + y$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{- x y' + y - x y' + y}{{(x + y)}^{2}}$

단계 3.7.2.3

$- x y'$ 에서 $x y'$ 을 뺍니다.

$\frac{- 2 x y' + y + y}{{(x + y)}^{2}}$

단계 3.7.2.4

$y$ 를 $y$ 에 더합니다.

$\frac{- 2 x y' + 2 y}{{(x + y)}^{2}}$

단계 3.7.3

$- 2 x y' + 2 y$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.3.1

$- 2 x y'$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- x y') + 2 y}{{(x + y)}^{2}}$

단계 3.7.3.2

$2 y$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- x y') + 2 (y)}{{(x + y)}^{2}}$

단계 3.7.3.3

$2 (- x y') + 2 (y)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- x y' + y)}{{(x + y)}^{2}}$

단계 3.7.4

$- x y'$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- (x y') + y)}{{(x + y)}^{2}}$

단계 3.7.5

$y$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- (x y') - 1 (- y))}{{(x + y)}^{2}}$

단계 3.7.6

$- (x y') - 1 (- y)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- (x y' - y))}{{(x + y)}^{2}}$

단계 3.7.7

$- (x y' - y)$ 을 $- 1 (x y' - y)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 (- 1 (x y' - y))}{{(x + y)}^{2}}$

단계 3.7.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2 (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$3 y^{2} y' = - \frac{2 (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}}$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

양변에 ${(x + y)}^{2}$ 을 곱합니다.

$3 y^{2} y' {(x + y)}^{2} = - \frac{2 (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$

단계 5.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$- \frac{2 (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

${(x + y)}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1.1

$- \frac{2 (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$3 y^{2} y' {(x + y)}^{2} = \frac{- 2 (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$

단계 5.2.1.1.2

공약수로 약분합니다.

$3 y^{2} y' {(x + y)}^{2} = \frac{- 2 (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$

단계 5.2.1.1.3

수식을 다시 씁니다.

$3 y^{2} y' {(x + y)}^{2} = - 2 (x y' - y)$

단계 5.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$3 y^{2} y' {(x + y)}^{2} = - 2 (x y') - 2 (- y)$

단계 5.2.1.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.3.1

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$3 y^{2} y' {(x + y)}^{2} = - 2 x y' + 2 y$

단계 5.2.1.3.2

$x$ 를 옮깁니다.

$3 y^{2} y' {(x + y)}^{2} = - 2 y' x + 2 y$

단계 5.3

$y'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$y'$ 을 포함하는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.1

방정식의 양변에 $2 y' x$ 를 더합니다.

$3 y^{2} y' {(x + y)}^{2} + 2 y' x = 2 y$

단계 5.3.1.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.2.1

${(x + y)}^{2}$ 을 $(x + y) (x + y)$ 로 바꿔 씁니다.

$3 y^{2} y' ((x + y) (x + y)) + 2 y' x = 2 y$

단계 5.3.1.2.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(x + y) (x + y)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.2.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$3 y^{2} y' (x (x + y) + y (x + y)) + 2 y' x = 2 y$

단계 5.3.1.2.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$3 y^{2} y' (x \cdot x + x y + y (x + y)) + 2 y' x = 2 y$

단계 5.3.1.2.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$3 y^{2} y' (x \cdot x + x y + y x + y \cdot y) + 2 y' x = 2 y$

단계 5.3.1.2.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.2.3.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$3 y^{2} y' (x^{2} + x y + y x + y \cdot y) + 2 y' x = 2 y$

단계 5.3.1.2.3.1.2

$y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

$3 y^{2} y' (x^{2} + x y + y x + y^{2}) + 2 y' x = 2 y$

단계 5.3.1.2.3.2

$x y$ 를 $y x$ 에 더합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.2.3.2.1

$y$ 와 $x$ 을 다시 정렬합니다.

$3 y^{2} y' (x^{2} + x y + x y + y^{2}) + 2 y' x = 2 y$

단계 5.3.1.2.3.2.2

$x y$ 를 $x y$ 에 더합니다.

$3 y^{2} y' (x^{2} + 2 x y + y^{2}) + 2 y' x = 2 y$

단계 5.3.1.2.4

분배 법칙을 적용합니다.

$3 y^{2} y' x^{2} + 3 y^{2} y' (2 x y) + 3 y^{2} y' y^{2} + 2 y' x = 2 y$

단계 5.3.1.2.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.2.5.1

지수를 더하여 $y^{2}$ 에 $y$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.2.5.1.1

$y$ 를 옮깁니다.

$3 y^{2} y' x^{2} + 3 (y \cdot y^{2}) y' (2 x) + 3 y^{2} y' y^{2} + 2 y' x = 2 y$

단계 5.3.1.2.5.1.2

$y$ 에 $y^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.2.5.1.2.1

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$3 y^{2} y' x^{2} + 3 (y^{1} y^{2}) y' (2 x) + 3 y^{2} y' y^{2} + 2 y' x = 2 y$

단계 5.3.1.2.5.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$3 y^{2} y' x^{2} + 3 y^{1 + 2} y' (2 x) + 3 y^{2} y' y^{2} + 2 y' x = 2 y$

단계 5.3.1.2.5.1.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$3 y^{2} y' x^{2} + 3 y^{3} y' (2 x) + 3 y^{2} y' y^{2} + 2 y' x = 2 y$

단계 5.3.1.2.5.2

지수를 더하여 $y^{2}$ 에 $y^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.2.5.2.1

$y^{2}$ 를 옮깁니다.

$3 y^{2} y' x^{2} + 3 y^{3} y' (2 x) + 3 (y^{2} y^{2}) y' + 2 y' x = 2 y$

단계 5.3.1.2.5.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$3 y^{2} y' x^{2} + 3 y^{3} y' (2 x) + 3 y^{2 + 2} y' + 2 y' x = 2 y$

단계 5.3.1.2.5.2.3

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$3 y^{2} y' x^{2} + 3 y^{3} y' (2 x) + 3 y^{4} y' + 2 y' x = 2 y$

단계 5.3.1.2.6

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$3 y^{2} y' x^{2} + 6 y^{3} y' x + 3 y^{4} y' + 2 y' x = 2 y$

단계 5.3.2

$3 y^{2} y' x^{2} + 6 y^{3} y' x + 3 y^{4} y' + 2 y' x$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$3 y^{2} y' x^{2}$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (3 y^{2} x^{2}) + 6 y^{3} y' x + 3 y^{4} y' + 2 y' x = 2 y$

단계 5.3.2.2

$6 y^{3} y' x$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (3 y^{2} x^{2}) + y' (6 y^{3} x) + 3 y^{4} y' + 2 y' x = 2 y$

단계 5.3.2.3

$3 y^{4} y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (3 y^{2} x^{2}) + y' (6 y^{3} x) + y' (3 y^{4}) + 2 y' x = 2 y$

단계 5.3.2.4

$2 y' x$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (3 y^{2} x^{2}) + y' (6 y^{3} x) + y' (3 y^{4}) + y' (2 x) = 2 y$

단계 5.3.2.5

$y' (3 y^{2} x^{2}) + y' (6 y^{3} x)$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x) + y' (3 y^{4}) + y' (2 x) = 2 y$

단계 5.3.2.6

$y' (3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x) + y' (3 y^{4})$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4}) + y' (2 x) = 2 y$

단계 5.3.2.7

$y' (3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4}) + y' (2 x)$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x) = 2 y$

단계 5.3.3

$y' (3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x) = 2 y$ 의 각 항을 $3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

$y' (3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x) = 2 y$ 의 각 항을 $3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x$ 로 나눕니다.

$\frac{y' (3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x)}{3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x} = \frac{2 y}{3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x}$

단계 5.3.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.2.1

$3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x)}{3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x} = \frac{2 y}{3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x}$

단계 5.3.3.2.1.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{2 y}{3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x}$