미적분 예제

$\int \sqrt[3]{t} (5 t^{2} - 3 t + 2) d t$

단계 1

$u = 5 t^{2} - 3 t + 2$ 이고 $d v = \sqrt[3]{t}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$(5 t^{2} - 3 t + 2) (\frac{3}{4} t^{\frac{4}{3}}) - \int \frac{3}{4} t^{\frac{4}{3}} (10 t - 3) d t$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

$\frac{3}{4}$ 와 $t^{\frac{4}{3}}$ 을 묶습니다.

$(5 t^{2} - 3 t + 2) \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} - \int \frac{3}{4} t^{\frac{4}{3}} (10 t - 3) d t$

단계 2.2

$\frac{3}{4}$ 와 $t^{\frac{4}{3}}$ 을 묶습니다.

$(5 t^{2} - 3 t + 2) \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} - \int \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} (10 t - 3) d t$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(5 t^{2} - 3 t + 2) \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} - \int \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} (10 t) + \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} \cdot - 3 d t$

단계 3.2

$\frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4}$ 와 $10$ 을 다시 정렬합니다.

$(5 t^{2} - 3 t + 2) \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} - \int 10 \cdot \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} t + \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} \cdot - 3 d t$

단계 3.3

$\frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4}$ 와 $- 3$ 을 다시 정렬합니다.

$(5 t^{2} - 3 t + 2) \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} - \int 10 \cdot \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} t - 3 \cdot \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} d t$

단계 3.4

$10$ 와 $\frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4}$ 을 묶습니다.

$(5 t^{2} - 3 t + 2) \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} - \int \frac{10 (3 t^{\frac{4}{3}})}{4} t - 3 \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} d t$

단계 3.5

$10$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$(5 t^{2} - 3 t + 2) \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} - \int \frac{30 t^{\frac{4}{3}}}{4} t - 3 \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} d t$

단계 3.6

$\frac{30 t^{\frac{4}{3}}}{4}$ 와 $t$ 을 묶습니다.

$(5 t^{2} - 3 t + 2) \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} - \int \frac{30 t^{\frac{4}{3}} t}{4} - 3 \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} d t$

단계 3.7

$t$ 를 $1$ 승 합니다.

$(5 t^{2} - 3 t + 2) \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} - \int \frac{30 (t^{\frac{4}{3}} t^{1})}{4} - 3 \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} d t$

단계 3.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$(5 t^{2} - 3 t + 2) \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} - \int \frac{30 t^{\frac{4}{3} + 1}}{4} - 3 \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} d t$

단계 3.9

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$(5 t^{2} - 3 t + 2) \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} - \int \frac{30 t^{\frac{4}{3} + \frac{3}{3}}}{4} - 3 \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} d t$

단계 3.10

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$(5 t^{2} - 3 t + 2) \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} - \int \frac{30 t^{\frac{4 + 3}{3}}}{4} - 3 \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} d t$

단계 3.11

$4$ 를 $3$ 에 더합니다.

$(5 t^{2} - 3 t + 2) \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} - \int \frac{30 t^{\frac{7}{3}}}{4} - 3 \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} d t$

단계 3.12

$- 3$ 와 $\frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4}$ 을 묶습니다.

$(5 t^{2} - 3 t + 2) \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} - \int \frac{30 t^{\frac{7}{3}}}{4} + \frac{- 3 (3 t^{\frac{4}{3}})}{4} d t$

단계 3.13

$- 3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$(5 t^{2} - 3 t + 2) \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} - \int \frac{30 t^{\frac{7}{3}}}{4} + \frac{- 9 t^{\frac{4}{3}}}{4} d t$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

$30 t^{\frac{7}{3}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$(5 t^{2} - 3 t + 2) \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} - \int \frac{2 (15 t^{\frac{7}{3}})}{4} + \frac{- 9 t^{\frac{4}{3}}}{4} d t$

단계 4.2

공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$(5 t^{2} - 3 t + 2) \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} - \int \frac{2 (15 t^{\frac{7}{3}})}{2 (2)} + \frac{- 9 t^{\frac{4}{3}}}{4} d t$

단계 4.2.2

공약수로 약분합니다.

$(5 t^{2} - 3 t + 2) \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} - \int \frac{2 (15 t^{\frac{7}{3}})}{2 \cdot 2} + \frac{- 9 t^{\frac{4}{3}}}{4} d t$

단계 4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$(5 t^{2} - 3 t + 2) \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} - \int \frac{15 t^{\frac{7}{3}}}{2} + \frac{- 9 t^{\frac{4}{3}}}{4} d t$

단계 4.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$(5 t^{2} - 3 t + 2) \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} - \int \frac{15 t^{\frac{7}{3}}}{2} - \frac{9 t^{\frac{4}{3}}}{4} d t$

단계 5

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$(5 t^{2} - 3 t + 2) \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} - (\int \frac{15 t^{\frac{7}{3}}}{2} d t + \int - \frac{9 t^{\frac{4}{3}}}{4} d t)$

단계 6

$\frac{15}{2}$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $\frac{15}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$(5 t^{2} - 3 t + 2) \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} - (\frac{15}{2} \int t^{\frac{7}{3}} d t + \int - \frac{9 t^{\frac{4}{3}}}{4} d t)$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $t^{\frac{7}{3}}$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $\frac{3}{10} t^{\frac{10}{3}}$ 가 됩니다.

$(5 t^{2} - 3 t + 2) \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} - (\frac{15}{2} (\frac{3}{10} t^{\frac{10}{3}} + C) + \int - \frac{9 t^{\frac{4}{3}}}{4} d t)$

단계 8

$\frac{3}{10}$ 와 $t^{\frac{10}{3}}$ 을 묶습니다.

$(5 t^{2} - 3 t + 2) \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} - (\frac{15}{2} (\frac{3 t^{\frac{10}{3}}}{10} + C) + \int - \frac{9 t^{\frac{4}{3}}}{4} d t)$

단계 9

$- 1$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$(5 t^{2} - 3 t + 2) \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} - (\frac{15}{2} (\frac{3 t^{\frac{10}{3}}}{10} + C) - \int \frac{9 t^{\frac{4}{3}}}{4} d t)$

단계 10

$\frac{9}{4}$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $\frac{9}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$(5 t^{2} - 3 t + 2) \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} - (\frac{15}{2} (\frac{3 t^{\frac{10}{3}}}{10} + C) - (\frac{9}{4} \int t^{\frac{4}{3}} d t))$

단계 11

멱의 법칙에 의해 $t^{\frac{4}{3}}$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $\frac{3}{7} t^{\frac{7}{3}}$ 가 됩니다.

$(5 t^{2} - 3 t + 2) \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} - (\frac{15}{2} (\frac{3 t^{\frac{10}{3}}}{10} + C) - \frac{9}{4} (\frac{3}{7} t^{\frac{7}{3}} + C))$

단계 12

간단히 합니다.

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단계 12.1

$\frac{3}{7}$ 와 $t^{\frac{7}{3}}$ 을 묶습니다.

$(5 t^{2} - 3 t + 2) \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{4} - (\frac{15}{2} (\frac{3 t^{\frac{10}{3}}}{10} + C) - \frac{9}{4} (\frac{3 t^{\frac{7}{3}}}{7} + C))$

단계 12.2

간단히 합니다.

$\frac{t^{\frac{10}{3}} \cdot 15}{4} + \frac{- 9 t^{\frac{7}{3}}}{4} + \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{2} - (\frac{15}{2} \cdot \frac{3 t^{\frac{10}{3}}}{10} - \frac{9}{4} \cdot \frac{3 t^{\frac{7}{3}}}{7}) + C$

단계 12.3

간단히 합니다.

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단계 12.3.1

$t^{\frac{10}{3}}$ 의 왼쪽으로 $15$ 이동하기

$\frac{15 \cdot t^{\frac{10}{3}}}{4} + \frac{- 9 t^{\frac{7}{3}}}{4} + \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{2} - (\frac{15}{2} \cdot \frac{3 t^{\frac{10}{3}}}{10} - \frac{9}{4} \cdot \frac{3 t^{\frac{7}{3}}}{7}) + C$

단계 12.3.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{15 t^{\frac{10}{3}}}{4} - \frac{9 t^{\frac{7}{3}}}{4} + \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{2} - (\frac{15}{2} \cdot \frac{3 t^{\frac{10}{3}}}{10} - \frac{9}{4} \cdot \frac{3 t^{\frac{7}{3}}}{7}) + C$

단계 12.3.3

$\frac{15}{2}$ 에 $\frac{3 t^{\frac{10}{3}}}{10}$ 을 곱합니다.

$\frac{15 t^{\frac{10}{3}}}{4} - \frac{9 t^{\frac{7}{3}}}{4} + \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{2} - (\frac{15 (3 t^{\frac{10}{3}})}{2 \cdot 10} - \frac{9}{4} \cdot \frac{3 t^{\frac{7}{3}}}{7}) + C$

단계 12.3.4

$3$ 에 $15$ 을 곱합니다.

$\frac{15 t^{\frac{10}{3}}}{4} - \frac{9 t^{\frac{7}{3}}}{4} + \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{2} - (\frac{45 t^{\frac{10}{3}}}{2 \cdot 10} - \frac{9}{4} \cdot \frac{3 t^{\frac{7}{3}}}{7}) + C$

단계 12.3.5

$2$ 에 $10$ 을 곱합니다.

$\frac{15 t^{\frac{10}{3}}}{4} - \frac{9 t^{\frac{7}{3}}}{4} + \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{2} - (\frac{45 t^{\frac{10}{3}}}{20} - \frac{9}{4} \cdot \frac{3 t^{\frac{7}{3}}}{7}) + C$

단계 12.3.6

$45 t^{\frac{10}{3}}$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{15 t^{\frac{10}{3}}}{4} - \frac{9 t^{\frac{7}{3}}}{4} + \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{2} - (\frac{5 (9 t^{\frac{10}{3}})}{20} - \frac{9}{4} \cdot \frac{3 t^{\frac{7}{3}}}{7}) + C$

단계 12.3.7

공약수로 약분합니다.

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단계 12.3.7.1

$20$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{15 t^{\frac{10}{3}}}{4} - \frac{9 t^{\frac{7}{3}}}{4} + \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{2} - (\frac{5 (9 t^{\frac{10}{3}})}{5 (4)} - \frac{9}{4} \cdot \frac{3 t^{\frac{7}{3}}}{7}) + C$

단계 12.3.7.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{15 t^{\frac{10}{3}}}{4} - \frac{9 t^{\frac{7}{3}}}{4} + \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{2} - (\frac{5 (9 t^{\frac{10}{3}})}{5 \cdot 4} - \frac{9}{4} \cdot \frac{3 t^{\frac{7}{3}}}{7}) + C$

단계 12.3.7.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{15 t^{\frac{10}{3}}}{4} - \frac{9 t^{\frac{7}{3}}}{4} + \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{2} - (\frac{9 t^{\frac{10}{3}}}{4} - \frac{9}{4} \cdot \frac{3 t^{\frac{7}{3}}}{7}) + C$

단계 12.3.8

$\frac{3 t^{\frac{7}{3}}}{7}$ 에 $\frac{9}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{15 t^{\frac{10}{3}}}{4} - \frac{9 t^{\frac{7}{3}}}{4} + \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{2} - (\frac{9 t^{\frac{10}{3}}}{4} - \frac{3 t^{\frac{7}{3}} \cdot 9}{7 \cdot 4}) + C$

단계 12.3.9

$9$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{15 t^{\frac{10}{3}}}{4} - \frac{9 t^{\frac{7}{3}}}{4} + \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{2} - (\frac{9 t^{\frac{10}{3}}}{4} - \frac{27 t^{\frac{7}{3}}}{7 \cdot 4}) + C$

단계 12.3.10

$7$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{15 t^{\frac{10}{3}}}{4} - \frac{9 t^{\frac{7}{3}}}{4} + \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{2} - (\frac{9 t^{\frac{10}{3}}}{4} - \frac{27 t^{\frac{7}{3}}}{28}) + C$

단계 12.3.11

공통 분모를 가지는 분수로 $- (\frac{9 t^{\frac{10}{3}}}{4} - \frac{27 t^{\frac{7}{3}}}{28})$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{15 t^{\frac{10}{3}}}{4} - (\frac{9 t^{\frac{10}{3}}}{4} - \frac{27 t^{\frac{7}{3}}}{28}) \cdot \frac{4}{4} - \frac{9 t^{\frac{7}{3}}}{4} + \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{2} + C$

단계 12.3.12

$- (\frac{9 t^{\frac{10}{3}}}{4} - \frac{27 t^{\frac{7}{3}}}{28})$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{15 t^{\frac{10}{3}}}{4} + \frac{- (\frac{9 t^{\frac{10}{3}}}{4} - \frac{27 t^{\frac{7}{3}}}{28}) \cdot 4}{4} - \frac{9 t^{\frac{7}{3}}}{4} + \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{2} + C$

단계 12.3.13

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{15 t^{\frac{10}{3}} - (\frac{9 t^{\frac{10}{3}}}{4} - \frac{27 t^{\frac{7}{3}}}{28}) \cdot 4}{4} - \frac{9 t^{\frac{7}{3}}}{4} + \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{2} + C$

단계 12.3.14

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{15 t^{\frac{10}{3}} - 4 (\frac{9 t^{\frac{10}{3}}}{4} - \frac{27 t^{\frac{7}{3}}}{28})}{4} - \frac{9 t^{\frac{7}{3}}}{4} + \frac{3 t^{\frac{4}{3}}}{2} + C$

단계 13

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{4} (15 t^{\frac{10}{3}} - 4 (\frac{9}{4} t^{\frac{10}{3}} - \frac{27}{28} t^{\frac{7}{3}})) - \frac{9}{4} t^{\frac{7}{3}} + \frac{3}{2} t^{\frac{4}{3}} + C$