미적분 예제

$y = \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}}$

단계 1

유리 지수를 사용하여 우변을 다시 씁니다.

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단계 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y = \sqrt{x + \sqrt{x + x^{\frac{1}{2}}}}$

단계 1.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x + x^{\frac{1}{2}}}$ 을(를) ${(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y = \sqrt{x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.3

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$ 을(를) ${(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y = {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$

단계 2

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})$

단계 3

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 4

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 4.1

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

단계 4.1.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

단계 4.1.3

$u_{1}$ 를 모두 $x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

단계 4.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

단계 4.3

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

단계 4.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

단계 4.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.5.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

단계 4.5.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

단계 4.6

미분합니다.

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단계 4.6.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

단계 4.6.2

분수를 통분합니다.

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단계 4.6.2.1

$\frac{1}{2}$ 와 ${(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{{(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

단계 4.6.2.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

단계 4.6.3

합의 법칙에 의해 $x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}])$

단계 4.6.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}])$

단계 4.7

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = x + x^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.7.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $x + x^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}])$

단계 4.7.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}])$

단계 4.7.3

$u_{2}$ 를 모두 $x + x^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}])$

단계 4.8

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}])$

단계 4.9

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}])$

단계 4.10

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}])$

단계 4.11

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.11.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}])$

단계 4.11.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}])$

단계 4.12

분수를 통분합니다.

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단계 4.12.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}])$

단계 4.12.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}])$

단계 4.12.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}])$

단계 4.13

합의 법칙에 의해 $x + x^{\frac{1}{2}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]))$

단계 4.14

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]))$

단계 4.15

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

단계 4.16

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

단계 4.17

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

단계 4.18

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

단계 4.19

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.19.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

단계 4.19.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

단계 4.20

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

단계 4.21

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}))$

단계 4.22

식을 간단히 합니다.

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단계 4.22.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}))$

단계 4.22.2

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}))$ 인수를 다시 정렬합니다.

$(1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})) \frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 5

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = (1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})) (\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}})$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = (1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})) (\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}})$