미적분 예제

$y = \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x) + \cos (x)}$

단계 1

$f (x) = \sin (x) - \cos (x)$ , $g (x) = \sin (x) + \cos (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)] - (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 2

합의 법칙에 의해 $\sin (x) - \cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) - (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 3

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) - (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \cos (x)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 입니다.

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 5

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - - \sin (x)) - (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 6

합의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + 1 \sin (x)) - (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 6.2

$\sin (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x)) - (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 6.3

합의 법칙에 의해 $\sin (x) + \cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x)) - (\sin (x) - \cos (x)) (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 7

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x)) - (\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 8

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x)) - (\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 9

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x)) + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 9.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\sin (x) (\cos (x) + \sin (x)) + \cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 9.2.1.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\sin (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x) + \cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 9.2.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\sin (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 9.2.1.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1.2.1.1

$\sin (x) \sin (x)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1.2.1.1.1

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\sin (x) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 9.2.1.2.1.1.2

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\sin (x) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \cos (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 9.2.1.2.1.1.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\sin (x) \cos (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 9.2.1.2.1.1.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 9.2.1.2.1.2

$\cos (x) \cos (x)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1.2.1.2.1

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 9.2.1.2.1.2.2

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \cos (x) \sin (x) + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 9.2.1.2.1.2.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \sin (x) + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 9.2.1.2.1.2.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 9.2.1.2.2

$\sin (x) \cos (x)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{\cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 9.2.1.2.3

$\cos (x) \sin (x)$ 를 $\cos (x) \sin (x)$ 에 더합니다.

$\frac{2 \cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 9.2.1.3

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\frac{2 \cos (x) \sin (x) + 1 + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 9.2.1.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1.4.1

$2 \cos (x)$ 와 $\sin (x)$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{\sin (x) (2 \cos (x)) + 1 + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 9.2.1.4.2

$\sin (x)$ 와 $2$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{2 \cdot \sin (x) \cos (x) + 1 + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 9.2.1.4.3

사인 배각 공식을 적용합니다.

$\frac{\sin (2 x) + 1 + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 9.2.1.5

$- - \cos (x)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1.5.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{\sin (2 x) + 1 + (- \sin (x) + 1 \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 9.2.1.5.2

$\cos (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\sin (2 x) + 1 + (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 9.2.1.6

FOIL 계산법을 이용하여 $(- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \sin (x) (\cos (x) - \sin (x)) + \cos (x) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 9.2.1.6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \sin (x) \cos (x) - \sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 9.2.1.6.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \sin (x) \cos (x) - \sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 9.2.1.7

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1.7.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1.7.1.1

$- \sin (x) (- \sin (x))$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1.7.1.1.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \sin (x) \cos (x) + 1 \sin (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 9.2.1.7.1.1.2

$\sin (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \sin (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 9.2.1.7.1.1.3

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \sin (x) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 9.2.1.7.1.1.4

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \sin (x) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 9.2.1.7.1.1.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \sin (x) \cos (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 9.2.1.7.1.1.6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 9.2.1.7.1.2

$\cos (x) \cos (x)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1.7.1.2.1

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 9.2.1.7.1.2.2

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \cos (x) (- \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 9.2.1.7.1.2.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} + \cos (x) (- \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 9.2.1.7.1.2.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + \cos (x) (- \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 9.2.1.7.1.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - \cos (x) \sin (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 9.2.1.7.2

$- \sin (x) \cos (x)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - \cos (x) \sin (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 9.2.1.7.3

$- \cos (x) \sin (x)$ 에서 $\cos (x) \sin (x)$ 을 뺍니다.

$\frac{\sin (2 x) + 1 - 2 \cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 9.2.1.8

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\frac{\sin (2 x) + 1 - 2 \cos (x) \sin (x) + 1}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 9.2.2

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\sin (2 x) - 2 \cos (x) \sin (x) + 2}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 9.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- 2 \cos (x) \sin (x) + 2 + \sin (2 x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 9.4

$- 2 \cos (x) \sin (x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (2 \cos (x) \sin (x)) + 2 + \sin (2 x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 9.5

$2$ 을 $- 1 (- 2)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- (2 \cos (x) \sin (x)) - 1 (- 2) + \sin (2 x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 9.6

$- (2 \cos (x) \sin (x)) - 1 (- 2)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (2 \cos (x) \sin (x) - 2) + \sin (2 x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 9.7

$\sin (2 x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (2 \cos (x) \sin (x) - 2) - 1 (- \sin (2 x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 9.8

$- (2 \cos (x) \sin (x) - 2) - 1 (- \sin (2 x))$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (2 \cos (x) \sin (x) - 2 - \sin (2 x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 9.9

$- (2 \cos (x) \sin (x) - 2 - \sin (2 x))$ 을 $- 1 (2 \cos (x) \sin (x) - 2 - \sin (2 x))$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (2 \cos (x) \sin (x) - 2 - \sin (2 x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 9.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2 \cos (x) \sin (x) - 2 - \sin (2 x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$