미적분 예제

$\sum_{i = 4}^{10} \frac{i - i^{2}}{3}$

단계 1

합을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$i - i^{2}$ 에서 $i$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$i$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{i^{1} - i^{2}}{3}$

단계 1.1.2

$i^{1}$ 에서 $i$ 를 인수분해합니다.

$\frac{i \cdot 1 - i^{2}}{3}$

단계 1.1.3

$- i^{2}$ 에서 $i$ 를 인수분해합니다.

$\frac{i \cdot 1 + i (- i)}{3}$

단계 1.1.4

$i \cdot 1 + i (- i)$ 에서 $i$ 를 인수분해합니다.

$\frac{i (1 - i)}{3}$

단계 1.2

합을 다시 씁니다.

$\sum_{i = 4}^{10} \frac{i (1 - i)}{3}$

단계 2

$i$ 의 시작값을 $1$ 에 맞추기 위해 합을 나눕니다.

$\sum_{i = 4}^{10} \frac{i}{3} - \frac{i^{2}}{3} = \sum_{i = 1}^{10} \frac{i}{3} - \frac{i^{2}}{3} - \sum_{i = 1}^{3} \frac{i}{3} - \frac{i^{2}}{3}$

단계 3

$\sum_{i = 1}^{10} \frac{i}{3} - \frac{i^{2}}{3}$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

합을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{i - i^{2}}{3}$

단계 3.1.2

합을 다시 씁니다.

$\sum_{i = 1}^{10} \frac{i - i^{2}}{3}$

단계 3.2

합의 법칙이 성립되도록 합을 더 작은 크기의 부분합으로 나눕니다.

$\sum_{i = 1}^{10} \frac{i}{3} - \frac{i^{2}}{3} = \sum_{i = 1}^{10} \frac{i}{3} + \sum_{i = 1}^{10} - \frac{i^{2}}{3}$

단계 3.3

$\sum_{i = 1}^{10} \frac{i}{3}$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

급수에서 $\frac{1}{3}$ 인수분해합니다.

$\frac{1}{3} \sum_{k = 1}^{10} i$

단계 3.3.2

차수가 $1$ 인 다항식의 합에 대한 공식은 다음과 같습니다:

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

단계 3.3.3

공식에 값을 대입하고 첫째 항을 곱합니다.

$(\frac{1}{3}) (\frac{10 (10 + 1)}{2})$

단계 3.3.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.4.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.4.1.1

$10$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{10 \cdot 11}{2}$

단계 3.3.4.1.2

$10$ 에 $11$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{110}{2}$

단계 3.3.4.1.3

$110$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{3} \cdot 55$

단계 3.3.4.2

$\frac{1}{3}$ 와 $55$ 을 묶습니다.

$\frac{55}{3}$

단계 3.4

$\sum_{i = 1}^{10} - \frac{i^{2}}{3}$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

급수에서 $- \frac{1}{3}$ 인수분해합니다.

$- \frac{1}{3} \sum_{k = 1}^{10} i^{2}$

단계 3.4.2

차수가 $2$ 인 다항식의 합에 대한 공식은 다음과 같습니다:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

단계 3.4.3

공식에 값을 대입하고 첫째 항을 곱합니다.

$(- \frac{1}{3}) (\frac{10 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1)}{6})$

단계 3.4.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.1.1

$10$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{10 \cdot 11 (2 \cdot 10 + 1)}{6}$

단계 3.4.4.1.2

지수를 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.1.2.1

$10$ 에 $11$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{110 (2 \cdot 10 + 1)}{6}$

단계 3.4.4.1.2.2

$2$ 에 $10$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{110 (20 + 1)}{6}$

단계 3.4.4.1.3

$20$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{110 \cdot 21}{6}$

단계 3.4.4.2

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.2.1

$110$ 에 $21$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{2310}{6}$

단계 3.4.4.2.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.2.2.1

$- \frac{1}{3}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{2310}{6}$

단계 3.4.4.2.2.2

$2310$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{3 (770)}{6}$

단계 3.4.4.2.2.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 770}{6}$

단계 3.4.4.2.2.4

수식을 다시 씁니다.

$- 1 (\frac{770}{6})$

단계 3.4.4.2.3

$770$ 및 $6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.2.3.1

$770$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- 1 \frac{2 (385)}{6}$

단계 3.4.4.2.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.2.3.2.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- 1 \frac{2 \cdot 385}{2 \cdot 3}$

단계 3.4.4.2.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$- 1 \frac{2 \cdot 385}{2 \cdot 3}$

단계 3.4.4.2.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- 1 (\frac{385}{3})$

단계 3.4.4.2.4

$- 1 (\frac{385}{3})$ 을 $- (\frac{385}{3})$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{385}{3}$

단계 3.5

합계 결과를 더합니다.

$\frac{55}{3} - \frac{385}{3}$

단계 3.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{55 - 385}{3}$

단계 3.6.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.2.1

$55$ 에서 $385$ 을 뺍니다.

$\frac{- 330}{3}$

단계 3.6.2.2

$- 330$ 을 $3$ 로 나눕니다.

$- 110$

단계 4

$\sum_{i = 1}^{3} \frac{i}{3} - \frac{i^{2}}{3}$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

합을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{i - i^{2}}{3}$

단계 4.1.2

합을 다시 씁니다.

$\sum_{i = 1}^{3} \frac{i - i^{2}}{3}$

단계 4.2

각 $i$ 값에 대하여 급수를 전개합니다.

$\frac{1 - 1^{2}}{3} + \frac{2 - 2^{2}}{3} + \frac{3 - 3^{2}}{3}$

단계 4.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1 - 1^{2} + 2 - 2^{2} + 3 - 3^{2}}{3}$

단계 4.3.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{1 - 1 \cdot 1 + 2 - 2^{2} + 3 - 3^{2}}{3}$

단계 4.3.2.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - 1 + 2 - 2^{2} + 3 - 3^{2}}{3}$

단계 4.3.2.3

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{1 - 1 + 2 - 1 \cdot 4 + 3 - 3^{2}}{3}$

단계 4.3.2.4

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - 1 + 2 - 4 + 3 - 3^{2}}{3}$

단계 4.3.2.5

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{1 - 1 + 2 - 4 + 3 - 1 \cdot 9}{3}$

단계 4.3.2.6

$- 1$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - 1 + 2 - 4 + 3 - 9}{3}$

단계 4.3.3

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{0 + 2 - 4 + 3 - 9}{3}$

단계 4.3.4

$0$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{2 - 4 + 3 - 9}{3}$

단계 4.3.5

$2$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$\frac{- 2 + 3 - 9}{3}$

단계 4.3.6

$- 2$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{1 - 9}{3}$

단계 4.3.7

$1$ 에서 $9$ 을 뺍니다.

$\frac{- 8}{3}$

단계 4.3.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{8}{3}$

단계 5

합을 구한 값으로 바꿉니다.

$- 110 + \frac{8}{3}$

단계 6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

공통 분모를 가지는 분수로 $- 110$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$- 110 \cdot \frac{3}{3} + \frac{8}{3}$

단계 6.2

$- 110$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 110 \cdot 3}{3} + \frac{8}{3}$

단계 6.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 110 \cdot 3 + 8}{3}$

단계 6.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1

$- 110$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{- 330 + 8}{3}$

단계 6.4.2

$- 330$ 를 $8$ 에 더합니다.

$\frac{- 322}{3}$

단계 6.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{322}{3}$

단계 7

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$- \frac{322}{3}$

소수 형태:

$- 107.\overline{3}$

대분수 형식:

$- 107 \frac{1}{3}$