미적분 예제

$\frac{d}{d x} (\frac{- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4}{- 4 x^{7}})$

단계 1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d}{d x} [- \frac{- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4}{4 x^{7}}]$

단계 1.2

$- \frac{1}{4}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4}{4 x^{7}}$ 의 미분은 $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4}{x^{7}}]$ 입니다.

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4}{x^{7}}]$

단계 2

$f (x) = - 2 x^{4} - x^{- 2} - 4$ , $g (x) = x^{7}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{7} \frac{d}{d x} [- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4] - (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{{(x^{7})}^{2}}$

단계 3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

${(x^{7})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{7} \frac{d}{d x} [- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4] - (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{7 \cdot 2}}$

단계 3.1.2

$7$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{7} \frac{d}{d x} [- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4] - (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

단계 3.2

합의 법칙에 의해 $- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 가 됩니다.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{7} (\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

단계 3.3

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x^{4}$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{7} (- 2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

단계 3.4

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{7} (- 2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

단계 3.5

$4$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{7} (- 8 x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

단계 3.6

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{- 2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ 입니다.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{7} (- 8 x^{3} - \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

단계 3.7

$n = - 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{7} (- 8 x^{3} - (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [- 4]) - (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

단계 3.8

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{7} (- 8 x^{3} + 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [- 4]) - (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

단계 3.9

$- 4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 4$ 입니다.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{7} (- 8 x^{3} + 2 x^{- 3} + 0) - (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

단계 3.10

$- 8 x^{3} + 2 x^{- 3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{7} (- 8 x^{3} + 2 x^{- 3}) - (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

단계 3.11

$n = 7$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{7} (- 8 x^{3} + 2 x^{- 3}) - (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4) (7 x^{6})}{x^{14}}$

단계 3.12

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.12.1

$7$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{7} (- 8 x^{3} + 2 x^{- 3}) - 7 (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4) x^{6}}{x^{14}}$

단계 3.12.2

$x^{7} (- 8 x^{3} + 2 x^{- 3}) - 7 (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4) x^{6}$ 에서 $x^{6}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.12.2.1

$x^{7} (- 8 x^{3} + 2 x^{- 3})$ 에서 $x^{6}$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{6} (x (- 8 x^{3} + 2 x^{- 3})) - 7 (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4) x^{6}}{x^{14}}$

단계 3.12.2.2

$- 7 (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4) x^{6}$ 에서 $x^{6}$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{6} (x (- 8 x^{3} + 2 x^{- 3})) + x^{6} (- 7 (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4))}{x^{14}}$

단계 3.12.2.3

$x^{6} (x (- 8 x^{3} + 2 x^{- 3})) + x^{6} (- 7 (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4))$ 에서 $x^{6}$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{6} (x (- 8 x^{3} + 2 x^{- 3}) - 7 (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4))}{x^{14}}$

단계 4

공약수로 약분합니다.

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단계 4.1

$x^{14}$ 에서 $x^{6}$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{6} (x (- 8 x^{3} + 2 x^{- 3}) - 7 (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4))}{x^{6} x^{8}}$

단계 4.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{6} (x (- 8 x^{3} + 2 x^{- 3}) - 7 (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4))}{x^{6} x^{8}}$

단계 4.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x (- 8 x^{3} + 2 x^{- 3}) - 7 (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4)}{x^{8}}$

단계 5

$\frac{x (- 8 x^{3} + 2 x^{- 3}) - 7 (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4)}{x^{8}}$ 에 $\frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

$- \frac{x (- 8 x^{3} + 2 x^{- 3}) - 7 (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4)}{x^{8} \cdot 4}$

단계 6

$x^{8}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$- \frac{x (- 8 x^{3} + 2 x^{- 3}) - 7 (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4)}{4 \cdot x^{8}}$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- \frac{x (- 8 x^{3} + 2 \frac{1}{x^{3}}) - 7 (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4)}{4 x^{8}}$

단계 7.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- \frac{x (- 8 x^{3} + 2 \frac{1}{x^{3}}) - 7 (- 2 x^{4} - \frac{1}{x^{2}} - 4)}{4 x^{8}}$

단계 7.3

분배 법칙을 적용합니다.

$- \frac{x (- 8 x^{3}) + x (2 \frac{1}{x^{3}}) - 7 (- 2 x^{4} - \frac{1}{x^{2}} - 4)}{4 x^{8}}$

단계 7.4

분배 법칙을 적용합니다.

$- \frac{x (- 8 x^{3}) + x (2 \frac{1}{x^{3}}) - 7 (- 2 x^{4}) - 7 (- \frac{1}{x^{2}}) - 7 \cdot - 4}{4 x^{8}}$

단계 7.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.5.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 7.5.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- \frac{- 8 x \cdot x^{3} + x (2 \frac{1}{x^{3}}) - 7 (- 2 x^{4}) - 7 (- \frac{1}{x^{2}}) - 7 \cdot - 4}{4 x^{8}}$

단계 7.5.1.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.5.1.2.1

$x^{3}$ 를 옮깁니다.

$- \frac{- 8 (x^{3} x) + x (2 \frac{1}{x^{3}}) - 7 (- 2 x^{4}) - 7 (- \frac{1}{x^{2}}) - 7 \cdot - 4}{4 x^{8}}$

단계 7.5.1.2.2

$x^{3}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.5.1.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{- 8 (x^{3} x^{1}) + x (2 \frac{1}{x^{3}}) - 7 (- 2 x^{4}) - 7 (- \frac{1}{x^{2}}) - 7 \cdot - 4}{4 x^{8}}$

단계 7.5.1.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{- 8 x^{3 + 1} + x (2 \frac{1}{x^{3}}) - 7 (- 2 x^{4}) - 7 (- \frac{1}{x^{2}}) - 7 \cdot - 4}{4 x^{8}}$

단계 7.5.1.2.3

$3$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \frac{- 8 x^{4} + x (2 \frac{1}{x^{3}}) - 7 (- 2 x^{4}) - 7 (- \frac{1}{x^{2}}) - 7 \cdot - 4}{4 x^{8}}$

단계 7.5.1.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- \frac{- 8 x^{4} + 2 x \frac{1}{x^{3}} - 7 (- 2 x^{4}) - 7 (- \frac{1}{x^{2}}) - 7 \cdot - 4}{4 x^{8}}$

단계 7.5.1.4

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.5.1.4.1

$2 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{- 8 x^{4} + x \cdot 2 \frac{1}{x^{3}} - 7 (- 2 x^{4}) - 7 (- \frac{1}{x^{2}}) - 7 \cdot - 4}{4 x^{8}}$

단계 7.5.1.4.2

$x^{3}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{- 8 x^{4} + x \cdot 2 \frac{1}{x \cdot x^{2}} - 7 (- 2 x^{4}) - 7 (- \frac{1}{x^{2}}) - 7 \cdot - 4}{4 x^{8}}$

단계 7.5.1.4.3

공약수로 약분합니다.

$- \frac{- 8 x^{4} + x \cdot 2 \frac{1}{x \cdot x^{2}} - 7 (- 2 x^{4}) - 7 (- \frac{1}{x^{2}}) - 7 \cdot - 4}{4 x^{8}}$

단계 7.5.1.4.4

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{- 8 x^{4} + 2 \frac{1}{x^{2}} - 7 (- 2 x^{4}) - 7 (- \frac{1}{x^{2}}) - 7 \cdot - 4}{4 x^{8}}$

단계 7.5.1.5

$2$ 와 $\frac{1}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{- 8 x^{4} + \frac{2}{x^{2}} - 7 (- 2 x^{4}) - 7 (- \frac{1}{x^{2}}) - 7 \cdot - 4}{4 x^{8}}$

단계 7.5.1.6

$- 2$ 에 $- 7$ 을 곱합니다.

$- \frac{- 8 x^{4} + \frac{2}{x^{2}} + 14 x^{4} - 7 (- \frac{1}{x^{2}}) - 7 \cdot - 4}{4 x^{8}}$

단계 7.5.1.7

$- 7 (- \frac{1}{x^{2}})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.5.1.7.1

$- 1$ 에 $- 7$ 을 곱합니다.

$- \frac{- 8 x^{4} + \frac{2}{x^{2}} + 14 x^{4} + 7 \frac{1}{x^{2}} - 7 \cdot - 4}{4 x^{8}}$

단계 7.5.1.7.2

$7$ 와 $\frac{1}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{- 8 x^{4} + \frac{2}{x^{2}} + 14 x^{4} + \frac{7}{x^{2}} - 7 \cdot - 4}{4 x^{8}}$

단계 7.5.1.8

$- 7$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$- \frac{- 8 x^{4} + \frac{2}{x^{2}} + 14 x^{4} + \frac{7}{x^{2}} + 28}{4 x^{8}}$

단계 7.5.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{- 8 x^{4} + 14 x^{4} + 28 + \frac{2 + 7}{x^{2}}}{4 x^{8}}$

단계 7.5.3

$2$ 를 $7$ 에 더합니다.

$- \frac{- 8 x^{4} + 14 x^{4} + 28 + \frac{9}{x^{2}}}{4 x^{8}}$

단계 7.5.4

$- 8 x^{4}$ 를 $14 x^{4}$ 에 더합니다.

$- \frac{6 x^{4} + 28 + \frac{9}{x^{2}}}{4 x^{8}}$

단계 7.6

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.6.1

$\frac{6 x^{4} + 28 + \frac{9}{x^{2}}}{4 x^{8}}$ 에 $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ 을 곱합니다.

$- (\frac{x^{2}}{x^{2}} \cdot \frac{6 x^{4} + 28 + \frac{9}{x^{2}}}{4 x^{8}})$

단계 7.6.2

조합합니다.

$- \frac{x^{2} (6 x^{4} + 28 + \frac{9}{x^{2}})}{x^{2} (4 x^{8})}$

단계 7.6.3

분배 법칙을 적용합니다.

$- \frac{x^{2} (6 x^{4}) + x^{2} \cdot 28 + x^{2} \frac{9}{x^{2}}}{x^{2} (4 x^{8})}$

단계 7.6.4

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$- \frac{x^{2} (6 x^{4}) + x^{2} \cdot 28 + x^{2} \frac{9}{x^{2}}}{x^{2} (4 x^{8})}$

단계 7.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{x^{2} (6 x^{4}) + x^{2} \cdot 28 + 9}{x^{2} (4 x^{8})}$

단계 7.6.5

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.6.5.1

$x^{4}$ 를 옮깁니다.

$- \frac{x^{4} x^{2} \cdot 6 + x^{2} \cdot 28 + 9}{x^{2} (4 x^{8})}$

단계 7.6.5.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{x^{4 + 2} \cdot 6 + x^{2} \cdot 28 + 9}{x^{2} (4 x^{8})}$

단계 7.6.5.3

$4$ 를 $2$ 에 더합니다.

$- \frac{x^{6} \cdot 6 + x^{2} \cdot 28 + 9}{x^{2} (4 x^{8})}$

단계 7.6.6

$x^{6}$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$- \frac{6 \cdot x^{6} + x^{2} \cdot 28 + 9}{x^{2} (4 x^{8})}$

단계 7.6.7

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $28$ 이동하기

$- \frac{6 x^{6} + 28 \cdot x^{2} + 9}{x^{2} (4 x^{8})}$

단계 7.6.8

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{8}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.6.8.1

$x^{8}$ 를 옮깁니다.

$- \frac{6 x^{6} + 28 x^{2} + 9}{x^{8} x^{2} \cdot 4}$

단계 7.6.8.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{6 x^{6} + 28 x^{2} + 9}{x^{8 + 2} \cdot 4}$

단계 7.6.8.3

$8$ 를 $2$ 에 더합니다.

$- \frac{6 x^{6} + 28 x^{2} + 9}{x^{10} \cdot 4}$

단계 7.6.9

$x^{10}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$- \frac{6 x^{6} + 28 x^{2} + 9}{4 x^{10}}$