미적분 예제

$y = \arcsin (2 x + 1)$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\arcsin (2 x + 1))$

단계 2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$f (y) = \arcsin (y)$ , $g (y) = 2 x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 는 $f' (g (y)) g' (y)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d y} [2 x + 1]$

단계 3.1.2

$\arcsin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ 입니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d y} [2 x + 1]$

단계 3.1.3

$u$ 를 모두 $2 x + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} \frac{d}{d y} [2 x + 1]$

단계 3.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

합의 법칙에 의해 $2 x + 1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} (\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [1])$

단계 3.2.2

$2$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d y} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} (2 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [1])$

단계 3.3

$\frac{d}{d y} [x]$ 을 $x'$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} (2 x' + \frac{d}{d y} [1])$

단계 3.4

$1$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} (2 x' + 0)$

단계 3.5

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$2 x'$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} (2 x')$

단계 3.5.2

$2$ 와 $\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} x'$

단계 3.5.3

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}}$ 와 $x'$ 을 묶습니다.

$\frac{2 x'}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$1 = \frac{2 x'}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}}$

단계 5

$x'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$\frac{2 x'}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{2 x'}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} = 1$

단계 5.2

양변에 $\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x'}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} \sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}} = 1 \sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}$

단계 5.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.1

$\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x'}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} \sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}} = 1 \sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}$

단계 5.3.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$2 x' = 1 \sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}$

단계 5.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$1 \sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.1

지수를 사용하여 수식을 세웁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.1.1

$\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 x' = \sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}$

단계 5.3.2.1.1.2

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$2 x' = \sqrt{1^{2} - {(2 x + 1)}^{2}}$

단계 5.3.2.1.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = 2 x + 1$ 입니다.

$2 x' = \sqrt{(1 + 2 x + 1) (1 - (2 x + 1))}$

단계 5.3.2.1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.3.1

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$2 x' = \sqrt{(2 x + 2) (1 - (2 x + 1))}$

단계 5.3.2.1.3.2

$2 x + 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.3.2.1

$2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 x' = \sqrt{(2 (x) + 2) (1 - (2 x + 1))}$

단계 5.3.2.1.3.2.2

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 x' = \sqrt{(2 (x) + 2 (1)) (1 - (2 x + 1))}$

단계 5.3.2.1.3.2.3

$2 (x) + 2 (1)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 x' = \sqrt{2 (x + 1) (1 - (2 x + 1))}$

단계 5.3.2.1.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$2 x' = \sqrt{2 (x + 1) (1 - (2 x) - 1 \cdot 1)}$

단계 5.3.2.1.3.4

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 x' = \sqrt{2 (x + 1) (1 - 2 x - 1 \cdot 1)}$

단계 5.3.2.1.3.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 x' = \sqrt{2 (x + 1) (1 - 2 x - 1)}$

단계 5.3.2.1.3.6

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$2 x' = \sqrt{2 (x + 1) (- 2 x + 0)}$

단계 5.3.2.1.3.7

$- 2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 x' = \sqrt{2 (x + 1) \cdot - 2 x}$

단계 5.3.2.1.3.8

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$2 x' = \sqrt{- 4 (x + 1) x}$

단계 5.3.2.1.4

$- 4 (x + 1) x$ 을 $2^{2} \cdot (- 1 (x + 1^{2}) x)$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.4.1

$- 4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$2 x' = \sqrt{4 (- 1) (x + 1) x}$

단계 5.3.2.1.4.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$2 x' = \sqrt{2^{2} \cdot - 1 (x + 1) x}$

단계 5.3.2.1.4.3

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$2 x' = \sqrt{2^{2} \cdot - 1 (x + 1^{2}) x}$

단계 5.3.2.1.4.4

괄호를 표시합니다.

$2 x' = \sqrt{2^{2} \cdot - 1 ((x + 1^{2}) x)}$

단계 5.3.2.1.4.5

괄호를 표시합니다.

$2 x' = \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (x + 1^{2}) x)}$

단계 5.3.2.1.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$2 x' = 2 \sqrt{- 1 (x + 1^{2}) x}$

단계 5.3.2.1.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.6.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$2 x' = 2 \sqrt{- 1 (x + 1) x}$

단계 5.3.2.1.6.2

$2 \sqrt{- 1 (x + 1) x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$2 x' = 2 \sqrt{- x (x + 1)}$

단계 5.4

$2 x' = 2 \sqrt{- x (x + 1)}$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$2 x' = 2 \sqrt{- x (x + 1)}$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x'}{2} = \frac{2 \sqrt{- x (x + 1)}}{2}$

단계 5.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x'}{2} = \frac{2 \sqrt{- x (x + 1)}}{2}$

단계 5.4.2.1.2

$x'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x' = \frac{2 \sqrt{- x (x + 1)}}{2}$

단계 5.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$x' = \frac{2 \sqrt{- x (x + 1)}}{2}$

단계 5.4.3.1.2

$\sqrt{- x (x + 1)}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x' = \sqrt{- x (x + 1)}$

단계 6

$x'$ 에 $\frac{d x}{d y}$ 를 대입합니다.

$\frac{d x}{d y} = \sqrt{- x (x + 1)}$