미적분 예제

$\frac{- t e^{- t} + e^{- t}}{e^{t}}$

단계 1

$f (t) = - t e^{- t} + e^{- t}$ , $g (t) = e^{t}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 는 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{e^{t} \frac{d}{d t} [- t e^{- t} + e^{- t}] - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{{(e^{t})}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

${(e^{t})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{e^{t} \frac{d}{d t} [- t e^{- t} + e^{- t}] - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{t \cdot 2}}$

단계 2.1.2

$t$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{e^{t} \frac{d}{d t} [- t e^{- t} + e^{- t}] - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

단계 2.2

합의 법칙에 의해 $- t e^{- t} + e^{- t}$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [- t e^{- t}] + \frac{d}{d t} [e^{- t}]$ 가 됩니다.

$\frac{e^{t} (\frac{d}{d t} [- t e^{- t}] + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

단계 2.3

$- 1$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $- t e^{- t}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d t} [t e^{- t}]$ 입니다.

$\frac{e^{t} (- \frac{d}{d t} [t e^{- t}] + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

단계 3

$f (t) = t$ , $g (t) = e^{- t}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 는 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{e^{t} (- (t \frac{d}{d t} [e^{- t}] + e^{- t} \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

단계 4

$f (t) = e^{t}$ , $g (t) = - t$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $- t$ 로 바꿉니다.

$\frac{e^{t} (- (t (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

단계 4.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{e^{t} (- (t (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

단계 4.3

$u_{1}$ 를 모두 $- t$ 로 바꿉니다.

$\frac{e^{t} (- (t (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

단계 5

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$- 1$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $- t$ 의 미분은 $- \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$\frac{e^{t} (- (t (e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t])) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

단계 5.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{e^{t} (- (t (e^{- t} (- 1 \cdot 1)) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

단계 5.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{t} (- (t (e^{- t} \cdot - 1) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

단계 5.3.2

$e^{- t}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\frac{e^{t} (- (t (- 1 \cdot e^{- t}) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

단계 5.3.3

$- 1 e^{- t}$ 을 $- e^{- t}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

단계 5.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}) + e^{- t} \cdot 1) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

단계 5.5

$e^{- t}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}) + e^{- t}) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

단계 6

$f (t) = e^{t}$ , $g (t) = - t$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $- t$ 로 바꿉니다.

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}) + e^{- t}) + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- t]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

단계 6.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}) + e^{- t}) + e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- t]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

단계 6.3

$u_{2}$ 를 모두 $- t$ 로 바꿉니다.

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}) + e^{- t}) + e^{- t} \frac{d}{d t} [- t]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

단계 7

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$- 1$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $- t$ 의 미분은 $- \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}) + e^{- t}) + e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t])) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

단계 7.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}) + e^{- t}) + e^{- t} (- 1 \cdot 1)) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

단계 7.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}) + e^{- t}) + e^{- t} \cdot - 1) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

단계 7.3.2

$e^{- t}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}) + e^{- t}) - 1 \cdot e^{- t}) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

단계 7.3.3

$- 1 e^{- t}$ 을 $- e^{- t}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}) + e^{- t}) - e^{- t}) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

단계 8

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ 은 $a^{t} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}) + e^{- t}) - e^{- t}) - (- t e^{- t} + e^{- t}) e^{t}}{e^{2 t}}$

단계 9

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t})) - e^{- t} - e^{- t}) - (- t e^{- t} + e^{- t}) e^{t}}{e^{2 t}}$

단계 9.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}))) + e^{t} (- e^{- t}) + e^{t} (- e^{- t}) - (- t e^{- t} + e^{- t}) e^{t}}{e^{2 t}}$

단계 9.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}))) + e^{t} (- e^{- t}) + e^{t} (- e^{- t}) + (- (- t e^{- t}) - e^{- t}) e^{t}}{e^{2 t}}$

단계 9.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}))) + e^{t} (- e^{- t}) + e^{t} (- e^{- t}) - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

단계 9.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.5.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.5.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{- 1 \cdot - 1 e^{t} (t e^{- t}) + e^{t} (- e^{- t}) + e^{t} (- e^{- t}) - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

단계 9.5.1.2

지수를 더하여 $e^{t}$ 에 $e^{- t}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.5.1.2.1

$e^{- t}$ 를 옮깁니다.

$\frac{- 1 \cdot - 1 (e^{- t} e^{t}) t + e^{t} (- e^{- t}) + e^{t} (- e^{- t}) - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

단계 9.5.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{- 1 \cdot - 1 e^{- t + t} t + e^{t} (- e^{- t}) + e^{t} (- e^{- t}) - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

단계 9.5.1.2.3

$- t$ 를 $t$ 에 더합니다.

$\frac{- 1 \cdot - 1 e^{0} t + e^{t} (- e^{- t}) + e^{t} (- e^{- t}) - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

단계 9.5.1.3

$- 1 \cdot - 1 e^{0} t$ 을 간단히 합니다.

$\frac{- 1 \cdot - 1 t + e^{t} (- e^{- t}) + e^{t} (- e^{- t}) - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

단계 9.5.1.4

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1 t + e^{t} (- e^{- t}) + e^{t} (- e^{- t}) - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

단계 9.5.1.5

$t$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{t + e^{t} (- e^{- t}) + e^{t} (- e^{- t}) - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

단계 9.5.1.6

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{t - e^{t} e^{- t} + e^{t} (- e^{- t}) - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

단계 9.5.1.7

지수를 더하여 $e^{t}$ 에 $e^{- t}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.5.1.7.1

$e^{- t}$ 를 옮깁니다.

$\frac{t - (e^{- t} e^{t}) + e^{t} (- e^{- t}) - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

단계 9.5.1.7.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{t - e^{- t + t} + e^{t} (- e^{- t}) - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

단계 9.5.1.7.3

$- t$ 를 $t$ 에 더합니다.

$\frac{t - e^{0} + e^{t} (- e^{- t}) - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

단계 9.5.1.8

$- e^{0}$ 을 간단히 합니다.

$\frac{t - 1 + e^{t} (- e^{- t}) - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

단계 9.5.1.9

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{t - 1 - e^{t} e^{- t} - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

단계 9.5.1.10

지수를 더하여 $e^{t}$ 에 $e^{- t}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.5.1.10.1

$e^{- t}$ 를 옮깁니다.

$\frac{t - 1 - (e^{- t} e^{t}) - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

단계 9.5.1.10.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{t - 1 - e^{- t + t} - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

단계 9.5.1.10.3

$- t$ 를 $t$ 에 더합니다.

$\frac{t - 1 - e^{0} - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

단계 9.5.1.11

$- e^{0}$ 을 간단히 합니다.

$\frac{t - 1 - 1 - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

단계 9.5.1.12

지수를 더하여 $e^{- t}$ 에 $e^{t}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.5.1.12.1

$e^{t}$ 를 옮깁니다.

$\frac{t - 1 - 1 - (- t (e^{t} e^{- t})) - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

단계 9.5.1.12.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{t - 1 - 1 - (- t e^{t - t}) - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

단계 9.5.1.12.3

$t$ 에서 $t$ 을 뺍니다.

$\frac{t - 1 - 1 - (- t e^{0}) - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

단계 9.5.1.13

$- (- t e^{0})$ 을 간단히 합니다.

$\frac{t - 1 - 1 - - t - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

단계 9.5.1.14

$- - t$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.5.1.14.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{t - 1 - 1 + 1 t - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

단계 9.5.1.14.2

$t$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{t - 1 - 1 + t - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

단계 9.5.1.15

지수를 더하여 $e^{- t}$ 에 $e^{t}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.5.1.15.1

$e^{t}$ 를 옮깁니다.

$\frac{t - 1 - 1 + t - (e^{t} e^{- t})}{e^{2 t}}$

단계 9.5.1.15.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{t - 1 - 1 + t - e^{t - t}}{e^{2 t}}$

단계 9.5.1.15.3

$t$ 에서 $t$ 을 뺍니다.

$\frac{t - 1 - 1 + t - e^{0}}{e^{2 t}}$

단계 9.5.1.16

$- e^{0}$ 을 간단히 합니다.

$\frac{t - 1 - 1 + t - 1}{e^{2 t}}$

단계 9.5.2

$t$ 를 $t$ 에 더합니다.

$\frac{2 t - 1 - 1 - 1}{e^{2 t}}$

단계 9.5.3

$- 1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{2 t - 2 - 1}{e^{2 t}}$

단계 9.5.4

$- 2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{2 t - 3}{e^{2 t}}$