미적분 예제

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \tan^{2} (θ) d θ$

단계 1

피타고라스 항등식을 이용하여 $\tan^{2} (θ)$ 를 $- 1 + \sec^{2} (θ)$ 로 바꿔 씁니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} - 1 + \sec^{2} (θ) d θ$

단계 2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} - 1 d θ + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sec^{2} (θ) d θ$

단계 3

상수 규칙을 적용합니다.

$- θ]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sec^{2} (θ) d θ$

단계 4

$\tan (θ)$ 의 도함수는 $\sec^{2} (θ)$ 이므로, $\sec^{2} (θ)$ 의 적분값은 $\tan (θ)$ 이 됩니다.

$- θ]_{0}^{\frac{π}{2}} + \tan (θ)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

단계 5

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$- θ]_{0}^{\frac{π}{2}}$ 와 $\tan (θ)]_{0}^{\frac{π}{2}}$ 을 묶습니다.

$- θ + \tan (θ)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

단계 5.2

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$\frac{π}{2}$ , $0$ 일 때, $- θ + \tan (θ)$ 값을 계산합니다.

$(- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2})) - (- 0 + \tan (0))$

단계 5.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2}) - (0 + \tan (0))$

단계 5.2.2.2

$0$ 를 $\tan (0)$ 에 더합니다.

$- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2}) - \tan (0)$

단계 5.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$\tan (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2}) - 0$

단계 5.3.2

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2}) + 0$

단계 5.3.3

$- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2})$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2})$

단계 6

$\tan (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

여섯 개의 삼각함수값이 알려진 두 각으로 $\frac{π}{2}$ 를 나눕니다.

$- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{6} + \frac{π}{3})$

단계 6.2

삼각함수의 합의 공식을 이용합니다.

$- \frac{π}{2} + \frac{\tan (\frac{π}{6}) + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})}$

단계 6.3

$\tan (\frac{π}{6})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 입니다.

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})}$

단계 6.4

$\tan (\frac{π}{3})$ 의 정확한 값은 $\sqrt{3}$ 입니다.

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})}$

단계 6.5

$\tan (\frac{π}{6})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 입니다.

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \tan (\frac{π}{3})}$

단계 6.6

$\tan (\frac{π}{3})$ 의 정확한 값은 $\sqrt{3}$ 입니다.

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}}$

단계 6.7

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.7.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.7.1.1

$- \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.7.1.1.1

$\sqrt{3}$ 와 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 을 묶습니다.

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{3}}$

단계 6.7.1.1.2

$\sqrt{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{3}}$

단계 6.7.1.1.3

$\sqrt{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{3}}$

단계 6.7.1.1.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3}}$

단계 6.7.1.1.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3}}$

단계 6.7.1.2

${\sqrt{3}}^{2}$ 을 $3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.7.1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{3}$ 을(를) $3^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3}}$

단계 6.7.1.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3}}$

단계 6.7.1.2.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3}}$

단계 6.7.1.2.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.7.1.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3}}$

단계 6.7.1.2.4.2

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{1}}{3}}$

단계 6.7.1.2.5

지수값을 계산합니다.

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3}{3}}$

단계 6.7.1.3

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.7.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3}{3}}$

단계 6.7.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - 1 \cdot 1}$

단계 6.7.1.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - 1}$

단계 6.7.2

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}$

단계 6.7.3

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}$

단계 6.8

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}$

단계 7

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음