미적분 예제

$\int \frac{y^{4} + 2 y^{2} - 1}{\sqrt{y}} d y$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{y}$ 을(를) $y^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int \frac{y^{4} + 2 y^{2} - 1}{y^{\frac{1}{2}}} d y$

단계 2

$y^{\frac{1}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\int (y^{4} + 2 y^{2} - 1) {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y$

단계 3

${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int (y^{4} + 2 y^{2} - 1) y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y$

단계 3.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\int (y^{4} + 2 y^{2} - 1) y^{\frac{- 1}{2}} d y$

단계 3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int (y^{4} + 2 y^{2} - 1) y^{- \frac{1}{2}} d y$

단계 4

$(y^{4} + 2 y^{2} - 1) y^{- \frac{1}{2}}$ 을 전개합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\int (y^{4} + 2 y^{2}) y^{- \frac{1}{2}} - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

단계 4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\int y^{4} y^{- \frac{1}{2}} + 2 y^{2} y^{- \frac{1}{2}} - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

단계 4.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int y^{4 - \frac{1}{2}} + 2 y^{2} y^{- \frac{1}{2}} - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

단계 4.4

공통 분모를 가지는 분수로 $4$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\int y^{4 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 2 y^{2} y^{- \frac{1}{2}} - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

단계 4.5

$4$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\int y^{\frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} + 2 y^{2} y^{- \frac{1}{2}} - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

단계 4.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\int y^{\frac{4 \cdot 2 - 1}{2}} + 2 y^{2} y^{- \frac{1}{2}} - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

단계 4.7

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.7.1

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\int y^{\frac{8 - 1}{2}} + 2 y^{2} y^{- \frac{1}{2}} - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

단계 4.7.2

$8$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\int y^{\frac{7}{2}} + 2 y^{2} y^{- \frac{1}{2}} - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

단계 4.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int y^{\frac{7}{2}} + 2 y^{2 - \frac{1}{2}} - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

단계 4.9

공통 분모를 가지는 분수로 $2$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\int y^{\frac{7}{2}} + 2 y^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

단계 4.10

$2$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\int y^{\frac{7}{2}} + 2 y^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

단계 4.11

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\int y^{\frac{7}{2}} + 2 y^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

단계 4.12

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.12.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\int y^{\frac{7}{2}} + 2 y^{\frac{4 - 1}{2}} - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

단계 4.12.2

$4$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\int y^{\frac{7}{2}} + 2 y^{\frac{3}{2}} - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

단계 4.13

$y^{\frac{7}{2}}$ 와 $2 y^{\frac{3}{2}}$ 을 다시 정렬합니다.

$\int 2 y^{\frac{3}{2}} + y^{\frac{7}{2}} - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

단계 5

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int 2 y^{\frac{3}{2}} d y + \int y^{\frac{7}{2}} d y + \int - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

단계 6

$2$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int y^{\frac{3}{2}} d y + \int y^{\frac{7}{2}} d y + \int - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $y^{\frac{3}{2}}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}}$ 가 됩니다.

$2 (\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}} + C) + \int y^{\frac{7}{2}} d y + \int - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $y^{\frac{7}{2}}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{9} y^{\frac{9}{2}}$ 가 됩니다.

$2 (\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}} + C) + \frac{2}{9} y^{\frac{9}{2}} + C + \int - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

$\frac{2}{5}$ 와 $y^{\frac{5}{2}}$ 을 묶습니다.

$2 (\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \frac{2}{9} y^{\frac{9}{2}} + C + \int - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

단계 9.2

$- 1 y^{- \frac{1}{2}}$ 을 $- y^{- \frac{1}{2}}$ 로 바꿔 씁니다.

$2 (\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \frac{2}{9} y^{\frac{9}{2}} + C + \int - y^{- \frac{1}{2}} d y$

단계 10

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 (\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \frac{2}{9} y^{\frac{9}{2}} + C - \int y^{- \frac{1}{2}} d y$

단계 11

멱의 법칙에 의해 $y^{- \frac{1}{2}}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $2 y^{\frac{1}{2}}$ 가 됩니다.

$2 (\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \frac{2}{9} y^{\frac{9}{2}} + C - (2 y^{\frac{1}{2}} + C)$

단계 12

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

간단히 합니다.

$\frac{4 y^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{2 y^{\frac{9}{2}}}{9} - (2 y^{\frac{1}{2}}) + C$

단계 12.2

식을 간단히 합니다.

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단계 12.2.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{4 y^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{2 y^{\frac{9}{2}}}{9} - 2 y^{\frac{1}{2}} + C$

단계 12.2.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{4}{5} y^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{9} y^{\frac{9}{2}} - 2 y^{\frac{1}{2}} + C$