미적분 예제

$y = \ln (e^{- x} + x e^{- x})$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (e^{- x} + x e^{- x}))$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = e^{- x} + x e^{- x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $e^{- x} + x e^{- x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{- x} + x e^{- x}]$

단계 3.1.2

$\ln (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1}}$ 입니다.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [e^{- x} + x e^{- x}]$

단계 3.1.3

$u_{1}$ 를 모두 $e^{- x} + x e^{- x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} \frac{d}{d x} [e^{- x} + x e^{- x}]$

단계 3.2

합의 법칙에 의해 $e^{- x} + x e^{- x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

단계 3.3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

단계 3.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

단계 3.3.3

$u_{2}$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

단계 3.4

미분합니다.

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단계 3.4.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

단계 3.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

단계 3.4.3

식을 간단히 합니다.

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단계 3.4.3.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (e^{- x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

단계 3.4.3.2

$e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- 1 \cdot e^{- x} + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

단계 3.4.3.3

$- 1 e^{- x}$ 을 $- e^{- x}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x} + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

단계 3.5

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{- x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x} + x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.6

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.6.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{3}$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x} + x (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.6.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ 은 $a^{u_{3}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x} + x (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.6.3

$u_{3}$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x} + x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.7

미분합니다.

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단계 3.7.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x} + x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.7.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x} + x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.7.3

식을 간단히 합니다.

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단계 3.7.3.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x} + x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.7.3.2

$e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x} + x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.7.3.3

$- 1 e^{- x}$ 을 $- e^{- x}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x} + x (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.7.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x} + x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1)$

단계 3.7.5

항을 간단히 합니다.

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단계 3.7.5.1

$e^{- x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x} + x (- e^{- x}) + e^{- x})$

단계 3.7.5.2

$- e^{- x}$ 를 $e^{- x}$ 에 더합니다.

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (x (- e^{- x}) + 0)$

단계 3.7.5.3

$x (- e^{- x})$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (x (- e^{- x}))$

단계 3.7.5.4

$x$ 와 $\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}}$ 을 묶습니다.

$\frac{x}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x})$

단계 3.7.5.5

$\frac{x}{e^{- x} + x e^{- x}}$ 와 $e^{- x}$ 을 묶습니다.

$- \frac{x e^{- x}}{e^{- x} + x e^{- x}}$

단계 3.8

간단히 합니다.

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단계 3.8.1

$e^{- x} + x e^{- x}$ 에서 $e^{- x}$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.8.1.1

$1$ 을 곱합니다.

$- \frac{x e^{- x}}{e^{- x} \cdot 1 + x e^{- x}}$

단계 3.8.1.2

$x e^{- x}$ 에서 $e^{- x}$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{x e^{- x}}{e^{- x} \cdot 1 + e^{- x} x}$

단계 3.8.1.3

$e^{- x} \cdot 1 + e^{- x} x$ 에서 $e^{- x}$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{x e^{- x}}{e^{- x} (1 + x)}$

단계 3.8.2

$e^{- x}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.8.2.1

공약수로 약분합니다.

$- \frac{x e^{- x}}{e^{- x} (1 + x)}$

단계 3.8.2.2

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{x}{1 + x}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = - \frac{x}{1 + x}$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{1 + x}$