미적분 예제

${(x y)}^{x} = e$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} ({(x y)}^{x}) = \frac{d}{d x} (e)$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

로그 성질을 사용하여 미분을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

${(x y)}^{x}$ 을 $e^{\ln ({(x y)}^{x})}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(x y)}^{x})}]$

단계 2.1.2

$x$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln ({(x y)}^{x})$ 을 전개합니다.

$\frac{d}{d x} [e^{x \ln (x y)}]$

단계 2.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = x \ln (x y)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $x \ln (x y)$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x \ln (x y)]$

단계 2.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x \ln (x y)]$

단계 2.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $x \ln (x y)$ 로 바꿉니다.

$e^{x \ln (x y)} \frac{d}{d x} [x \ln (x y)]$

단계 2.3

$f (x) = x$ , $g (x) = \ln (x y)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x \ln (x y)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x y)] + \ln (x y) \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.4

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = x y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $x y$ 로 바꿉니다.

$e^{x \ln (x y)} (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x y]) + \ln (x y) \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.4.2

$\ln (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{2}}$ 입니다.

$e^{x \ln (x y)} (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x y]) + \ln (x y) \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.4.3

$u_{2}$ 를 모두 $x y$ 로 바꿉니다.

$e^{x \ln (x y)} (x (\frac{1}{x y} \frac{d}{d x} [x y]) + \ln (x y) \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.5

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$\frac{1}{x y}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$e^{x \ln (x y)} (\frac{x}{x y} \frac{d}{d x} [x y] + \ln (x y) \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.5.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1

공약수로 약분합니다.

$e^{x \ln (x y)} (\frac{x}{x y} \frac{d}{d x} [x y] + \ln (x y) \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.5.2.2

수식을 다시 씁니다.

$e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x y] + \ln (x y) \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.6

$f (x) = x$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \ln (x y) \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.7

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \ln (x y) \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} (x y' + y \cdot 1) + \ln (x y) \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.9

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} (x y' + y) + \ln (x y) \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.10

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} (x y' + y) + \ln (x y) \cdot 1)$

단계 2.11

$\ln (x y)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} (x y' + y) + \ln (x y))$

단계 2.12

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.12.1

분배 법칙을 적용합니다.

$e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} (x y') + \frac{1}{y} y + \ln (x y))$

단계 2.12.2

분배 법칙을 적용합니다.

$e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} (x y')) + e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} y) + e^{x \ln (x y)} \ln (x y)$

단계 2.12.3

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.12.3.1

$x$ 와 $\frac{1}{y}$ 을 묶습니다.

$e^{x \ln (x y)} (\frac{x}{y} y') + e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} y) + e^{x \ln (x y)} \ln (x y)$

단계 2.12.3.2

$\frac{x}{y}$ 와 $y'$ 을 묶습니다.

$e^{x \ln (x y)} \frac{x y'}{y} + e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} y) + e^{x \ln (x y)} \ln (x y)$

단계 2.12.3.3

$e^{x \ln (x y)}$ 와 $\frac{x y'}{y}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{x \ln (x y)} (x y')}{y} + e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} y) + e^{x \ln (x y)} \ln (x y)$

단계 2.12.3.4

$\frac{1}{y}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{x \ln (x y)} (x y')}{y} + e^{x \ln (x y)} \frac{y}{y} + e^{x \ln (x y)} \ln (x y)$

단계 2.12.3.5

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.12.3.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{x \ln (x y)} (x y')}{y} + e^{x \ln (x y)} \frac{y}{y} + e^{x \ln (x y)} \ln (x y)$

단계 2.12.3.5.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{e^{x \ln (x y)} (x y')}{y} + e^{x \ln (x y)} \cdot 1 + e^{x \ln (x y)} \ln (x y)$

단계 2.12.3.6

$e^{x \ln (x y)}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{x \ln (x y)} (x y')}{y} + e^{x \ln (x y)} + e^{x \ln (x y)} \ln (x y)$

단계 2.12.4

항을 다시 정렬합니다.

$e^{x \ln (x y)} \ln (x y) + \frac{e^{x \ln (x y)} (x y')}{y} + e^{x \ln (x y)}$

단계 3

$e$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $e$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $e$ 입니다.

$0$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$e^{x \ln (x y)} \ln (x y) + \frac{e^{x \ln (x y)} (x y')}{y} + e^{x \ln (x y)} = 0$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

$e^{x \ln (x y)} \ln (x y) + \frac{e^{x \ln (x y)} x y'}{y} + e^{x \ln (x y)}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$e^{x \ln (x y)} \ln (x y) + \frac{x y' e^{x \ln (x y)}}{y} + e^{x \ln (x y)} = 0$

단계 5.1.2

$x$ 와 $y'$ 을 다시 정렬합니다.

$e^{x \ln (x y)} \ln (x y) + \frac{y' x e^{x \ln (x y)}}{y} + e^{x \ln (x y)} = 0$

단계 5.1.3

$e^{x \ln (x y)} \ln (x y)$ 와 $\frac{y' x e^{x \ln (x y)}}{y}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{y' x e^{x \ln (x y)}}{y} + e^{x \ln (x y)} \ln (x y) + e^{x \ln (x y)} = 0$

단계 5.2

$\frac{y' x e^{x \ln (x y)}}{y} + e^{x \ln (x y)} \ln (x y) + e^{x \ln (x y)}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{y' x e^{x \ln (x y)}}{y} + \ln (x y) e^{x \ln (x y)} + e^{x \ln (x y)} = 0$

단계 5.3

$y'$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

방정식의 양변에서 $\ln (x y) e^{x \ln (x y)}$ 를 뺍니다.

$\frac{y' x e^{x \ln (x y)}}{y} + e^{x \ln (x y)} = - \ln (x y) e^{x \ln (x y)}$

단계 5.3.2

방정식의 양변에서 $e^{x \ln (x y)}$ 를 뺍니다.

$\frac{y' x e^{x \ln (x y)}}{y} = - \ln (x y) e^{x \ln (x y)} - e^{x \ln (x y)}$

단계 5.4

양변에 $y$ 을 곱합니다.

$\frac{y' x e^{x \ln (x y)}}{y} y = (- \ln (x y) e^{x \ln (x y)} - e^{x \ln (x y)}) y$

단계 5.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1.1

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' x e^{x \ln (x y)}}{y} y = (- \ln (x y) e^{x \ln (x y)} - e^{x \ln (x y)}) y$

단계 5.5.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y' x e^{x \ln (x y)} = (- \ln (x y) e^{x \ln (x y)} - e^{x \ln (x y)}) y$

단계 5.5.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.2.1

$(- \ln (x y) e^{x \ln (x y)} - e^{x \ln (x y)}) y$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y' x e^{x \ln (x y)} = - \ln (x y) e^{x \ln (x y)} y - e^{x \ln (x y)} y$

단계 5.5.2.1.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.2.1.2.1

$- \ln (x y) e^{x \ln (x y)} y - e^{x \ln (x y)} y$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y' x e^{x \ln (x y)} = - \ln (x y) y e^{x \ln (x y)} - y e^{x \ln (x y)}$

단계 5.5.2.1.2.2

$\ln (x y)$ 를 옮깁니다.

$y' x e^{x \ln (x y)} = - y \ln (x y) e^{x \ln (x y)} - y e^{x \ln (x y)}$

단계 5.6

$y' x e^{x \ln (x y)} = - y \ln (x y) e^{x \ln (x y)} - y e^{x \ln (x y)}$ 의 각 항을 $x e^{x \ln (x y)}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.6.1

$y' x e^{x \ln (x y)} = - y \ln (x y) e^{x \ln (x y)} - y e^{x \ln (x y)}$ 의 각 항을 $x e^{x \ln (x y)}$ 로 나눕니다.

$\frac{y' x e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}} = \frac{- y \ln (x y) e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}} + \frac{- y e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}}$

단계 5.6.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.6.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.6.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' x e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}} = \frac{- y \ln (x y) e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}} + \frac{- y e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}}$

단계 5.6.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y' e^{x \ln (x y)}}{e^{x \ln (x y)}} = \frac{- y \ln (x y) e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}} + \frac{- y e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}}$

단계 5.6.2.2

$e^{x \ln (x y)}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.6.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' e^{x \ln (x y)}}{e^{x \ln (x y)}} = \frac{- y \ln (x y) e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}} + \frac{- y e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}}$

단계 5.6.2.2.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{- y \ln (x y) e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}} + \frac{- y e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}}$

단계 5.6.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.6.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.6.3.1.1

$e^{x \ln (x y)}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.6.3.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{- y \ln (x y) e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}} + \frac{- y e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}}$

단계 5.6.3.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{- y \ln (x y)}{x} + \frac{- y e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}}$

단계 5.6.3.1.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{y \ln (x y)}{x} + \frac{- y e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}}$

단계 5.6.3.1.3

$e^{x \ln (x y)}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.6.3.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$y' = - \frac{y \ln (x y)}{x} + \frac{- y e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}}$

단계 5.6.3.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$y' = - \frac{y \ln (x y)}{x} + \frac{- y}{x}$

단계 5.6.3.1.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{y \ln (x y)}{x} - \frac{y}{x}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y \ln (x y)}{x} - \frac{y}{x}$