미적분 예제

$y = {\sin (9 x)}^{\ln (x)}$

단계 1

$y = f (x)$ 로 두고, 양변 $\ln (y) = \ln (f (x))$ 에 자연 로그를 취합니다.

$\ln (y) = \ln ({\sin (9 x)}^{\ln (x)})$

단계 2

$\ln (x)$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln ({\sin (9 x)}^{\ln (x)})$ 을 전개합니다.

$\ln (y) = \ln (x) \ln (\sin (9 x))$

단계 3

연쇄 법칙을 사용하여 식을 미분합니다. $y$ 이 $x$ 의 함수라는 점에 유의하십시오.

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단계 3.1

연쇄 법칙을 사용해 좌측 변 $\ln (y)$ 을 미분합니다.

$\frac{y'}{y} = \ln (x) \ln (\sin (9 x))$

단계 3.2

우측 변을 미분합니다.

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단계 3.2.1

$\ln (x) \ln (\sin (9 x))$ 를 미분합니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (\sin (9 x))]$

단계 3.2.2

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = \ln (\sin (9 x))$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{y'}{y} = \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (\sin (9 x))] + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

단계 3.2.3

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = \sin (9 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\sin (9 x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

단계 3.2.3.2

$\ln (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1}}$ 입니다.

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

단계 3.2.3.3

$u_{1}$ 를 모두 $\sin (9 x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\frac{1}{\sin (9 x)} \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

단계 3.2.4

$\frac{1}{\sin (9 x)}$ 을 $\csc (9 x)$ 로 변환합니다.

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\csc (9 x) \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

단계 3.2.5

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 9 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.5.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $9 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\csc (9 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [9 x])) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

단계 3.2.5.2

$\sin (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{2})$ 입니다.

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\csc (9 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [9 x])) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

단계 3.2.5.3

$u_{2}$ 를 모두 $9 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\csc (9 x) (\cos (9 x) \frac{d}{d x} [9 x])) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

단계 3.2.6

미분합니다.

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단계 3.2.6.1

$9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $9 x$ 의 미분은 $9 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\csc (9 x) \cos (9 x) (9 \frac{d}{d x} [x])) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

단계 3.2.6.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\csc (9 x) \cos (9 x) (9 \cdot 1)) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

단계 3.2.6.3

식을 간단히 합니다.

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단계 3.2.6.3.1

$9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\csc (9 x) \cos (9 x) \cdot 9) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

단계 3.2.6.3.2

$\csc (9 x) \cos (9 x)$ 의 왼쪽으로 $9$ 이동하기

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (9 \cdot (\csc (9 x) \cos (9 x))) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

단계 3.2.7

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (9 \csc (9 x) \cos (9 x)) + \ln (\sin (9 x)) \frac{1}{x}$

단계 3.2.8

$\ln (\sin (9 x))$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (9 \csc (9 x) \cos (9 x)) + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}$

단계 3.2.9

간단히 합니다.

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단계 3.2.9.1

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{y'}{y} = 9 \cos (9 x) \csc (9 x) \ln (x) + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}$

단계 3.2.9.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.2.9.2.1

$\csc (9 x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{y'}{y} = 9 \cos (9 x) \frac{1}{\sin (9 x)} \ln (x) + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}$

단계 3.2.9.2.2

$9 \cos (9 x) \frac{1}{\sin (9 x)}$ 을 곱합니다.

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단계 3.2.9.2.2.1

$\frac{1}{\sin (9 x)}$ 와 $9$ 을 묶습니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{9}{\sin (9 x)} \cos (9 x) \ln (x) + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}$

단계 3.2.9.2.2.2

$\frac{9}{\sin (9 x)}$ 와 $\cos (9 x)$ 을 묶습니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{9 \cos (9 x)}{\sin (9 x)} \ln (x) + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}$

단계 3.2.9.2.3

$\frac{9 \cos (9 x)}{\sin (9 x)}$ 와 $\ln (x)$ 을 묶습니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{9 \cos (9 x) \ln (x)}{\sin (9 x)} + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}$

단계 3.2.9.3

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.2.9.3.1

분수를 나눕니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{9 \ln (x)}{1} \cdot \frac{\cos (9 x)}{\sin (9 x)} + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}$

단계 3.2.9.3.2

$\frac{\cos (9 x)}{\sin (9 x)}$ 을 $\cot (9 x)$ 로 변환합니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{9 \ln (x)}{1} \cot (9 x) + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}$

단계 3.2.9.3.3

$9 \ln (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{y'}{y} = 9 \ln (x) \cot (9 x) + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}$

단계 4

$y'$ 을 분리하고 우변의 $y$ 에 원래 함수를 대입합니다.

$y' = (9 \ln (x) \cot (9 x) + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}$

단계 5

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.1.1

$9$ 를 로그 안으로 옮겨 $9 \ln (x)$ 을 간단히 합니다.

$y' = (\ln (x^{9}) \cot (9 x) + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}$

단계 5.1.2

$\cot (9 x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$y' = (\ln (x^{9}) \frac{\cos (9 x)}{\sin (9 x)} + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}$

단계 5.1.3

$\ln (x^{9})$ 와 $\frac{\cos (9 x)}{\sin (9 x)}$ 을 묶습니다.

$y' = (\frac{\ln (x^{9}) \cos (9 x)}{\sin (9 x)} + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}$

단계 5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y' = \frac{\ln (x^{9}) \cos (9 x)}{\sin (9 x)} {\sin (9 x)}^{\ln (x)} + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x} {\sin (9 x)}^{\ln (x)}$

단계 5.3

$\frac{\ln (x^{9}) \cos (9 x)}{\sin (9 x)}$ 와 ${\sin (9 x)}^{\ln (x)}$ 을 묶습니다.

$y' = \frac{\ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}}{\sin (9 x)} + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x} {\sin (9 x)}^{\ln (x)}$

단계 5.4

$\frac{\ln (\sin (9 x))}{x}$ 와 ${\sin (9 x)}^{\ln (x)}$ 을 묶습니다.

$y' = \frac{\ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}}{\sin (9 x)} + \frac{\ln (\sin (9 x)) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}}{x}$

단계 5.5

${\sin (9 x)}^{\ln (x)}$ 및 $\sin (9 x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.5.1

$\ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}$ 에서 $\sin (9 x)$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{\sin (9 x) (\ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x) - 1})}{\sin (9 x)} + \frac{\ln (\sin (9 x)) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}}{x}$

단계 5.5.2

공약수로 약분합니다.

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단계 5.5.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{\sin (9 x) (\ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x) - 1})}{\sin (9 x) \cdot 1} + \frac{\ln (\sin (9 x)) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}}{x}$

단계 5.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{\sin (9 x) (\ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x) - 1})}{\sin (9 x) \cdot 1} + \frac{\ln (\sin (9 x)) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}}{x}$

단계 5.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{\ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x) - 1}}{1} + \frac{\ln (\sin (9 x)) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}}{x}$

단계 5.5.2.4

$\ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x) - 1}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x) - 1} + \frac{\ln (\sin (9 x)) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}}{x}$

단계 5.6

공통 분모를 가지는 분수로 $\ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x) - 1}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{\ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x) - 1} x}{x} + \frac{\ln (\sin (9 x)) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}}{x}$

단계 5.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = \frac{\ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x) - 1} x + \ln (\sin (9 x)) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}}{x}$

단계 5.8

$\frac{\ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x) - 1} x + \ln (\sin (9 x)) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}}{x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y' = \frac{x {\sin (9 x)}^{\ln (x) - 1} \ln (x^{9}) \cos (9 x) + {\sin (9 x)}^{\ln (x)} \ln (\sin (9 x))}{x}$