미적분 예제

$lim_{x \to \infty} 3 - x + \frac{x^{2} - 2 x}{x + 5}$

단계 1

항을 묶습니다.

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단계 1.1

공통 분모를 가지는 분수로 $3$ 을 표현하기 위해 $\frac{x + 5}{x + 5}$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} - x + \frac{3 (x + 5)}{x + 5} + \frac{x^{2} - 2 x}{x + 5}$

단계 1.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$lim_{x \to \infty} - x + \frac{3 (x + 5) + x^{2} - 2 x}{x + 5}$

단계 1.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- x$ 을 표현하기 위해 $\frac{x + 5}{x + 5}$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} - x \cdot \frac{x + 5}{x + 5} + \frac{3 (x + 5) + x^{2} - 2 x}{x + 5}$

단계 1.4

$- x$ 와 $\frac{x + 5}{x + 5}$ 을 묶습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{- x (x + 5)}{x + 5} + \frac{3 (x + 5) + x^{2} - 2 x}{x + 5}$

단계 1.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{- x (x + 5) + 3 (x + 5) + x^{2} - 2 x}{x + 5}$

단계 2

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 2.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 2.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} - x (x + 5) + 3 (x + 5) + x^{2} - 2 x}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

단계 2.1.2

분자의 극한을 구하세요.

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단계 2.1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} - x \cdot x - x \cdot 5 + 3 (x + 5) + x^{2} - 2 x}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

단계 2.1.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} - x \cdot x - x \cdot 5 + 3 x + 3 \cdot 5 + x^{2} - 2 x}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

단계 2.1.2.3

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} - x \cdot x - 1 \cdot 5 x + 3 x + 3 \cdot 5 + x^{2} - 2 x}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

단계 2.1.2.4

마이너스 부호를 앞으로 보냅니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} - (x \cdot x) - 1 \cdot 5 x + 3 x + 3 \cdot 5 + x^{2} - 2 x}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

단계 2.1.2.5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} - (x^{1} x) - 1 \cdot 5 x + 3 x + 3 \cdot 5 + x^{2} - 2 x}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

단계 2.1.2.6

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} - (x^{1} x^{1}) - 1 \cdot 5 x + 3 x + 3 \cdot 5 + x^{2} - 2 x}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

단계 2.1.2.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} - x^{1 + 1} - 1 \cdot 5 x + 3 x + 3 \cdot 5 + x^{2} - 2 x}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

단계 2.1.2.8

항을 더해 식을 간단히 합니다.

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단계 2.1.2.8.1

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} - x^{2} - 1 \cdot 5 x + 3 x + 3 \cdot 5 + x^{2} - 2 x}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

단계 2.1.2.8.2

곱합니다.

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단계 2.1.2.8.2.1

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} - x^{2} - 5 x + 3 x + 3 \cdot 5 + x^{2} - 2 x}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

단계 2.1.2.8.2.2

$3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} - x^{2} - 5 x + 3 x + 15 + x^{2} - 2 x}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

단계 2.1.2.8.3

$- 5 x$ 를 $3 x$ 에 더합니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} - x^{2} - 2 x + 15 + x^{2} - 2 x}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

단계 2.1.2.8.4

식을 간단히 합니다.

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단계 2.1.2.8.4.1

$15$ 를 옮깁니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} - x^{2} - 2 x + x^{2} - 2 x + 15}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

단계 2.1.2.8.4.2

$- 2 x$ 와 $x^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} - x^{2} + x^{2} - 2 x - 2 x + 15}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

단계 2.1.2.8.4.3

$- x^{2}$ 와 $x^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} - x^{2} - 2 x - 2 x + 15}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

단계 2.1.2.8.5

$x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} 0 - 2 x - 2 x + 15}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

단계 2.1.2.8.6

$0$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} - 2 x - 2 x + 15}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

단계 2.1.2.8.7

$- 2 x$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} - 4 x + 15}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

단계 2.1.2.9

최고차항 계수가 음수인 다항식에 대한 무한대에서의 극한값은 음의 무한대입니다.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

단계 2.1.3

최고차항이 양수인 다항식에 대한 무한대에서의 극한값은 무한대입니다.

$\frac{- \infty}{\infty}$

단계 2.1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{- \infty}{\infty}$

단계 2.2

$\frac{- \infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{- x (x + 5) + 3 (x + 5) + x^{2} - 2 x}{x + 5} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [- x (x + 5) + 3 (x + 5) + x^{2} - 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

단계 2.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 2.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [- x (x + 5) + 3 (x + 5) + x^{2} - 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

단계 2.3.2

합의 법칙에 의해 $- x (x + 5) + 3 (x + 5) + x^{2} - 2 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- x (x + 5)] + \frac{d}{d x} [3 (x + 5)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [- x (x + 5)] + \frac{d}{d x} [3 (x + 5)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

단계 2.3.3

$\frac{d}{d x} [- x (x + 5)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x (x + 5)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x (x + 5)]$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{d}{d x} [x (x + 5)] + \frac{d}{d x} [3 (x + 5)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

단계 2.3.3.2

$f (x) = x$ , $g (x) = x + 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{- (x \frac{d}{d x} [x + 5] + (x + 5) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 (x + 5)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

단계 2.3.3.3

합의 법칙에 의해 $x + 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{- (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + (x + 5) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 (x + 5)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

단계 2.3.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{- (x (1 + \frac{d}{d x} [5]) + (x + 5) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 (x + 5)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

단계 2.3.3.5

$5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $5$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{- (x (1 + 0) + (x + 5) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 (x + 5)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

단계 2.3.3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{- (x (1 + 0) + (x + 5) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3 (x + 5)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

단계 2.3.3.7

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{- (x \cdot 1 + (x + 5) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3 (x + 5)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

단계 2.3.3.8

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{- (x + (x + 5) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3 (x + 5)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

단계 2.3.3.9

$x + 5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{- (x + x + 5) + \frac{d}{d x} [3 (x + 5)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

단계 2.3.3.10

$x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{- (2 x + 5) + \frac{d}{d x} [3 (x + 5)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

단계 2.3.4

$\frac{d}{d x} [3 (x + 5)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.4.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 (x + 5)$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x + 5]$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{- (2 x + 5) + 3 \frac{d}{d x} [x + 5] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

단계 2.3.4.2

합의 법칙에 의해 $x + 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{- (2 x + 5) + 3 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

단계 2.3.4.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{- (2 x + 5) + 3 (1 + \frac{d}{d x} [5]) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

단계 2.3.4.4

$5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $5$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{- (2 x + 5) + 3 (1 + 0) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

단계 2.3.4.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{- (2 x + 5) + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

단계 2.3.4.6

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{- (2 x + 5) + 3 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

단계 2.3.5

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{- (2 x + 5) + 3 + 2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

단계 2.3.6

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.6.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{- (2 x + 5) + 3 + 2 x - 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

단계 2.3.6.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{- (2 x + 5) + 3 + 2 x - 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

단계 2.3.6.3

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{- (2 x + 5) + 3 + 2 x - 2}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

단계 2.3.7

간단히 합니다.

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단계 2.3.7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{- (2 x) - 1 \cdot 5 + 3 + 2 x - 2}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

단계 2.3.7.2

항을 묶습니다.

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단계 2.3.7.2.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 1 \cdot 5 + 3 + 2 x - 2}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

단계 2.3.7.2.2

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 5 + 3 + 2 x - 2}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

단계 2.3.7.2.3

$- 5$ 를 $3$ 에 더합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 2 + 2 x - 2}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

단계 2.3.7.2.4

$- 2 x$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - 2 - 2}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

단계 2.3.7.2.5

$0$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 - 2}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

단계 2.3.7.2.6

$- 2$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 4}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

단계 2.3.8

합의 법칙에 의해 $x + 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 4}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]}$

단계 2.3.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 4}{1 + \frac{d}{d x} [5]}$

단계 2.3.10

$5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $5$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 4}{1 + 0}$

단계 2.3.11

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 4}{1}$

단계 2.4

$- 4$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$lim_{x \to \infty} - 4$

단계 3

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $- 4$ 의 극한을 구합니다.

$- 4$