미적분 예제

$\int_{- 2}^{1} (x + 1) \sqrt{x + 3} d x$

단계 1

$u = x + 1$ 이고 $d v = \sqrt{x + 3}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$(x + 1) (\frac{2}{3} {(x + 3)}^{\frac{3}{2}})]_{- 2}^{1} - \int_{- 2}^{1} \frac{2}{3} {(x + 3)}^{\frac{3}{2}} d x$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

$\frac{2}{3}$ 와 ${(x + 3)}^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$(x + 1) \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3}]_{- 2}^{1} - \int_{- 2}^{1} \frac{2}{3} {(x + 3)}^{\frac{3}{2}} d x$

단계 2.2

$\frac{2}{3}$ 와 ${(x + 3)}^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$(x + 1) \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3}]_{- 2}^{1} - \int_{- 2}^{1} \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

단계 3

$\frac{2}{3}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{2}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$(x + 1) \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3}]_{- 2}^{1} - (\frac{2}{3} \int_{- 2}^{1} {(x + 3)}^{\frac{3}{2}} d x)$

단계 4

먼저 $u = x + 3$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 4.1

$u = x + 3$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 4.1.1

$x + 3$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

단계 4.1.2

합의 법칙에 의해 $x + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

단계 4.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

단계 4.1.4

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$1 + 0$

단계 4.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 4.2

$u = x + 3$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = - 2 + 3$

단계 4.3

$- 2$ 를 $3$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 1$

단계 4.4

$u = x + 3$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 1 + 3$

단계 4.5

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$u_{upper} = 4$

단계 4.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

단계 4.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$(x + 1) \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3}]_{- 2}^{1} - \frac{2}{3} \int_{1}^{4} u^{\frac{3}{2}} d u$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{3}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ 가 됩니다.

$(x + 1) \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3}]_{- 2}^{1} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{1}^{4}$

단계 6

대입하여 간단히 합니다.

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단계 6.1

$1$ , $- 2$ 일 때, $(x + 1) \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ 값을 계산합니다.

$((1 + 1) \frac{2 {(1 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3}) - (- 2 + 1) \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{1}^{4}$

단계 6.2

$4$ , $1$ 일 때, $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ 값을 계산합니다.

$((1 + 1) \frac{2 {(1 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3}) - (- 2 + 1) \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3

간단히 합니다.

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단계 6.3.1

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$2 \frac{2 {(1 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - (- 2 + 1) \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.2

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$2 \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - (- 2 + 1) \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.3

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$2 \frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - (- 2 + 1) \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.4

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$2 \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - (- 2 + 1) \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.5

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.3.5.1

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - (- 2 + 1) \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.5.2

수식을 다시 씁니다.

$2 \frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - (- 2 + 1) \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.6

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$2 \frac{2 \cdot 8}{3} - (- 2 + 1) \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.7

$2$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{16}{3}) - (- 2 + 1) \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.8

$2$ 와 $\frac{16}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 \cdot 16}{3} - (- 2 + 1) \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.9

$2$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$\frac{32}{3} - (- 2 + 1) \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.10

$- 2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{32}{3} - - 1 \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.11

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{32}{3} + 1 \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.12

$- 2$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{32}{3} + 1 \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.13

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{32}{3} + 1 \frac{2 \cdot 1}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.14

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{32}{3} + 1 (\frac{2}{3}) - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.15

$\frac{2}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{32}{3} + \frac{2}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.16

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{32 + 2}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.17

$32$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{34}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.18

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{34}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.19

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{34}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.20

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.3.20.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{34}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.20.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{34}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 2^{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.21

$2$ 를 $5$ 승 합니다.

$\frac{34}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 32 - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.22

$\frac{2}{5}$ 와 $32$ 을 묶습니다.

$\frac{34}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 \cdot 32}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.23

$2$ 에 $32$ 을 곱합니다.

$\frac{34}{3} - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.24

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{34}{3} - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1)$

단계 6.3.25

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{34}{3} - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} - \frac{2}{5})$

단계 6.3.26

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{34}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{64 - 2}{5}$

단계 6.3.27

$64$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{34}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{62}{5}$

단계 6.3.28

$\frac{62}{5}$ 에 $\frac{2}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{34}{3} - \frac{62 \cdot 2}{5 \cdot 3}$

단계 6.3.29

$62$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{34}{3} - \frac{124}{5 \cdot 3}$

단계 6.3.30

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{34}{3} - \frac{124}{15}$

단계 6.3.31

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{34}{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$\frac{34}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{124}{15}$

단계 6.3.32

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $15$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 6.3.32.1

$\frac{34}{3}$ 에 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$\frac{34 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{124}{15}$

단계 6.3.32.2

$3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{34 \cdot 5}{15} - \frac{124}{15}$

단계 6.3.33

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{34 \cdot 5 - 124}{15}$

단계 6.3.34

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.3.34.1

$34$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{170 - 124}{15}$

단계 6.3.34.2

$170$ 에서 $124$ 을 뺍니다.

$\frac{46}{15}$

단계 7

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{46}{15}$

소수 형태:

$3.0\overline{6}$

대분수 형식:

$3 \frac{1}{15}$

단계 8