미적분 예제

$\frac{1}{5} {(x y^{2} + 4 y)}^{2}$

단계 1

${(x y^{2} + 4 y)}^{2}$ 을 $(x y^{2} + 4 y) (x y^{2} + 4 y)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} ((x y^{2} + 4 y) (x y^{2} + 4 y))]$

단계 2

FOIL 계산법을 이용하여 $(x y^{2} + 4 y) (x y^{2} + 4 y)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x y^{2} (x y^{2} + 4 y) + 4 y (x y^{2} + 4 y))]$

단계 2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x y^{2} (x y^{2}) + x y^{2} (4 y) + 4 y (x y^{2} + 4 y))]$

단계 2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x y^{2} (x y^{2}) + x y^{2} (4 y) + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

단계 3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x \cdot x y^{2} y^{2} + x y^{2} (4 y) + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

단계 3.1.1.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{2} y^{2} + x y^{2} (4 y) + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

단계 3.1.2

지수를 더하여 $y^{2}$ 에 $y^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1

$y^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} (y^{2} y^{2}) + x y^{2} (4 y) + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

단계 3.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{2 + 2} + x y^{2} (4 y) + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

단계 3.1.2.3

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + x y^{2} (4 y) + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

단계 3.1.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{2} y + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

단계 3.1.4

지수를 더하여 $y^{2}$ 에 $y$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.4.1

$y$ 를 옮깁니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x (y \cdot y^{2}) + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

단계 3.1.4.2

$y$ 에 $y^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.4.2.1

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x (y^{1} y^{2}) + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

단계 3.1.4.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{1 + 2} + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

단계 3.1.4.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

단계 3.1.5

지수를 더하여 $y$ 에 $y^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.5.1

$y^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 (y^{2} y) x + 4 y (4 y))]$

단계 3.1.5.2

$y^{2}$ 에 $y$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.5.2.1

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 (y^{2} y^{1}) x + 4 y (4 y))]$

단계 3.1.5.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 y^{2 + 1} x + 4 y (4 y))]$

단계 3.1.5.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 y^{3} x + 4 y (4 y))]$

단계 3.1.6

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 y^{3} x + 4 \cdot 4 y \cdot y)]$

단계 3.1.7

지수를 더하여 $y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.7.1

$y$ 를 옮깁니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 y^{3} x + 4 \cdot 4 (y \cdot y))]$

단계 3.1.7.2

$y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 y^{3} x + 4 \cdot 4 y^{2})]$

단계 3.1.8

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 y^{3} x + 16 y^{2})]$

단계 3.2

$4 x y^{3}$ 를 $4 y^{3} x$ 에 더합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$y^{3}$ 를 옮깁니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 x y^{3} + 16 y^{2})]$

단계 3.2.2

$4 x y^{3}$ 를 $4 x y^{3}$ 에 더합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 8 x y^{3} + 16 y^{2})]$

단계 4

$\frac{1}{5}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 8 x y^{3} + 16 y^{2})$ 의 미분은 $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{2} y^{4} + 8 x y^{3} + 16 y^{2}]$ 입니다.

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{2} y^{4} + 8 x y^{3} + 16 y^{2}]$

단계 5

합의 법칙에 의해 $x^{2} y^{4} + 8 x y^{3} + 16 y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [16 y^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{5} (\frac{d}{d x} [x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [16 y^{2}])$

단계 6

$y^{4}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $x^{2} y^{4}$ 의 미분은 $y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{1}{5} (y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [16 y^{2}])$

단계 7

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{5} (y^{4} (2 x) + \frac{d}{d x} [8 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [16 y^{2}])$

단계 8

$y^{4}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{1}{5} (2 \cdot y^{4} x + \frac{d}{d x} [8 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [16 y^{2}])$

단계 9

$8 y^{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 x y^{3}$ 의 미분은 $8 y^{3} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{5} (2 y^{4} x + 8 y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16 y^{2}])$

단계 10

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{5} (2 y^{4} x + 8 y^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16 y^{2}])$

단계 11

$8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{5} (2 y^{4} x + 8 y^{3} + \frac{d}{d x} [16 y^{2}])$

단계 12

$16 y^{2}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $16 y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $16 y^{2}$ 입니다.

$\frac{1}{5} (2 y^{4} x + 8 y^{3} + 0)$

단계 13

$2 y^{4} x + 8 y^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{5} (2 y^{4} x + 8 y^{3})$

단계 14

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{5} (2 y^{4} x) + \frac{1}{5} (8 y^{3})$

단계 14.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.2.1

$2$ 와 $\frac{1}{5}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{5} (y^{4} x) + \frac{1}{5} (8 y^{3})$

단계 14.2.2

$y^{4}$ 와 $\frac{2}{5}$ 을 묶습니다.

$\frac{y^{4} \cdot 2}{5} x + \frac{1}{5} (8 y^{3})$

단계 14.2.3

$\frac{y^{4} \cdot 2}{5}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{y^{4} \cdot 2 x}{5} + \frac{1}{5} (8 y^{3})$

단계 14.2.4

$y^{4}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 \cdot y^{4} x}{5} + \frac{1}{5} (8 y^{3})$

단계 14.2.5

$8$ 와 $\frac{1}{5}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 y^{4} x}{5} + \frac{8}{5} y^{3}$

단계 14.2.6

$\frac{8}{5}$ 와 $y^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 y^{4} x}{5} + \frac{8 y^{3}}{5}$