미적분 예제

$x = \sqrt{y} + \sqrt[3]{y}$

단계 1

유리 지수를 사용하여 우변을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{y}$ 을(를) $y^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$x = y^{\frac{1}{2}} + \sqrt[3]{y}$

단계 1.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{y}$ 을(를) $y^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$x = y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{3}}$

단계 2

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{3}})$

단계 3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1$

단계 4

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 4.1

합의 법칙에 의해 $y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{3}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$

단계 4.2

$\frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$

단계 4.2.1.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$

단계 4.2.1.3

$u_{1}$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$

단계 4.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} y' + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$

단계 4.2.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} y' + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$

단계 4.2.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} y' + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$

단계 4.2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} y' + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$

단계 4.2.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.2.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} y' + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$

단계 4.2.6.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} y' + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$

단계 4.2.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} y' + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$

단계 4.2.8

$\frac{1}{2}$ 와 $y^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} y' + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$

단계 4.2.9

$\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 와 $y'$ 을 묶습니다.

$\frac{y^{- \frac{1}{2}} y'}{2} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$

단계 4.2.10

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $y^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$

단계 4.3

$\frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.3.1

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [y]$

단계 4.3.1.2

$n = \frac{1}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

단계 4.3.1.3

$u_{2}$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

단계 4.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} - 1} y'$

단계 4.3.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} y'$

단계 4.3.4

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} y'$

단계 4.3.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{3} y^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} y'$

단계 4.3.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.3.6.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{3} y^{\frac{1 - 3}{3}} y'$

단계 4.3.6.2

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{3} y^{\frac{- 2}{3}} y'$

단계 4.3.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{3} y^{- \frac{2}{3}} y'$

단계 4.3.8

$\frac{1}{3}$ 와 $y^{- \frac{2}{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{- \frac{2}{3}}}{3} y'$

단계 4.3.9

$\frac{y^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 와 $y'$ 을 묶습니다.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{- \frac{2}{3}} y'}{3}$

단계 4.3.10

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $y^{- \frac{2}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}$

단계 5

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$1 = \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}$

단계 6

$y'$ 에 대해 풉니다.

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단계 6.1

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} = 1$

단계 6.2

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

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단계 6.2.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$2 y^{\frac{1}{2}}, 3 y^{\frac{2}{3}}, 1$

단계 6.2.2

$2 y^{\frac{1}{2}}, 3 y^{\frac{2}{3}}, 1$ 이 숫자와 변수를 모두 포함하므로 두 단계에 걸쳐 최소공배수를 구합니다. 숫자 부분인 $2, 3, 1$ 의 최소공배수를 구한 뒤 변수 부분 $y^{\frac{1}{2}}, y^{\frac{2}{3}}$ 의 최소공배수를 구합니다.

단계 6.2.3

최소공배수는 주어진 모든 수로 나누어 떨어지는 가장 작은 양수입니다.

1. 각 수의 소인수를 나열합니다.

2. 각 인수가 해당 수에서 나타나는 횟수만큼 각 인수를 곱합니다.

단계 6.2.4

$2$ 는 $1$ , $2$ 이외의 인수를 가지지 않습니다.

$2$ 는 소수입니다

단계 6.2.5

$3$ 는 $1$ , $3$ 이외의 인수를 가지지 않습니다.

$3$ 는 소수입니다

단계 6.2.6

숫자 $1$ 은 자신을 약수로 가지지만 오직 한 개의 양의 약수를 가지므로 소수가 아닙니다.

소수가 아님

단계 6.2.7

$2, 3, 1$ 의 최소공배수는 각 수에 포함된 소인수의 최대 개수만큼 모든 소인수를 곱한 값입니다.

$2 \cdot 3$

단계 6.2.8

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$6$

단계 6.2.9

$y^{\frac{1}{2}}, y^{\frac{2}{3}}$ 의 최소공배수는 각 항에 포함된 소인수의 최대 개수 만큼 모든 소인수를 곱한 값입니다.

$y^{\frac{2}{3}}$

단계 6.2.10

$2 y^{\frac{1}{2}}, 3 y^{\frac{2}{3}}, 1$ 의 최소공배수는 숫자 부분 $6$ 에 변수 부분을 곱한 값입니다.

$6 y^{\frac{2}{3}}$

단계 6.3

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} = 1$ 의 각 항에 $6 y^{\frac{2}{3}}$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

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단계 6.3.1

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} = 1$ 의 각 항에 $6 y^{\frac{2}{3}}$ 을 곱합니다.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (6 y^{\frac{2}{3}}) + \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} (6 y^{\frac{2}{3}}) = 1 (6 y^{\frac{2}{3}})$

단계 6.3.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 6.3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$6 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{2}{3}} + \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} (6 y^{\frac{2}{3}}) = 1 (6 y^{\frac{2}{3}})$

단계 6.3.2.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1.2.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 \cdot 3 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{2}{3}} + \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} (6 y^{\frac{2}{3}}) = 1 (6 y^{\frac{2}{3}})$

단계 6.3.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$2 \cdot 3 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{2}{3}} + \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} (6 y^{\frac{2}{3}}) = 1 (6 y^{\frac{2}{3}})$

단계 6.3.2.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$3 \frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{2}{3}} + \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} (6 y^{\frac{2}{3}}) = 1 (6 y^{\frac{2}{3}})$

단계 6.3.2.1.3

$3$ 와 $\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{3 y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{2}{3}} + \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} (6 y^{\frac{2}{3}}) = 1 (6 y^{\frac{2}{3}})$

단계 6.3.2.1.4

$y^{\frac{1}{2}}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.3.2.1.4.1

$y^{\frac{2}{3}}$ 에서 $y^{\frac{1}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 y'}{y^{\frac{1}{2}}} (y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{6}}) + \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} (6 y^{\frac{2}{3}}) = 1 (6 y^{\frac{2}{3}})$

단계 6.3.2.1.4.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 y'}{y^{\frac{1}{2}}} (y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{6}}) + \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} (6 y^{\frac{2}{3}}) = 1 (6 y^{\frac{2}{3}})$

단계 6.3.2.1.4.3

수식을 다시 씁니다.

$3 y' y^{\frac{1}{6}} + \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} (6 y^{\frac{2}{3}}) = 1 (6 y^{\frac{2}{3}})$

단계 6.3.2.1.5

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$3 y' y^{\frac{1}{6}} + 6 \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}} = 1 (6 y^{\frac{2}{3}})$

단계 6.3.2.1.6

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1.6.1

$6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 y' y^{\frac{1}{6}} + 3 \cdot 2 \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}} = 1 (6 y^{\frac{2}{3}})$

단계 6.3.2.1.6.2

공약수로 약분합니다.

$3 y' y^{\frac{1}{6}} + 3 \cdot 2 \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}} = 1 (6 y^{\frac{2}{3}})$

단계 6.3.2.1.6.3

수식을 다시 씁니다.

$3 y' y^{\frac{1}{6}} + 2 \frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}} = 1 (6 y^{\frac{2}{3}})$

단계 6.3.2.1.7

$2$ 와 $\frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}}$ 을 묶습니다.

$3 y' y^{\frac{1}{6}} + \frac{2 y'}{y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}} = 1 (6 y^{\frac{2}{3}})$

단계 6.3.2.1.8

$y^{\frac{2}{3}}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.3.2.1.8.1

공약수로 약분합니다.

$3 y' y^{\frac{1}{6}} + \frac{2 y'}{y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}} = 1 (6 y^{\frac{2}{3}})$

단계 6.3.2.1.8.2

수식을 다시 씁니다.

$3 y' y^{\frac{1}{6}} + 2 y' = 1 (6 y^{\frac{2}{3}})$

단계 6.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.3.1

$6 y^{\frac{2}{3}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 y' y^{\frac{1}{6}} + 2 y' = 6 y^{\frac{2}{3}}$

단계 6.4

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1

$3 y' y^{\frac{1}{6}} + 2 y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1.1

$3 y' y^{\frac{1}{6}}$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (3 y^{\frac{1}{6}}) + 2 y' = 6 y^{\frac{2}{3}}$

단계 6.4.1.2

$2 y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (3 y^{\frac{1}{6}}) + y' \cdot 2 = 6 y^{\frac{2}{3}}$

단계 6.4.1.3

$y' (3 y^{\frac{1}{6}}) + y' \cdot 2$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (3 y^{\frac{1}{6}} + 2) = 6 y^{\frac{2}{3}}$

단계 6.4.2

$y' (3 y^{\frac{1}{6}} + 2) = 6 y^{\frac{2}{3}}$ 의 각 항을 $3 y^{\frac{1}{6}} + 2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.2.1

$y' (3 y^{\frac{1}{6}} + 2) = 6 y^{\frac{2}{3}}$ 의 각 항을 $3 y^{\frac{1}{6}} + 2$ 로 나눕니다.

$\frac{y' (3 y^{\frac{1}{6}} + 2)}{3 y^{\frac{1}{6}} + 2} = \frac{6 y^{\frac{2}{3}}}{3 y^{\frac{1}{6}} + 2}$

단계 6.4.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (3 y^{\frac{1}{6}} + 2)}{3 y^{\frac{1}{6}} + 2} = \frac{6 y^{\frac{2}{3}}}{3 y^{\frac{1}{6}} + 2}$

단계 6.4.2.2.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{6 y^{\frac{2}{3}}}{3 y^{\frac{1}{6}} + 2}$

단계 7

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 y^{\frac{2}{3}}}{3 y^{\frac{1}{6}} + 2}$