미적분 예제

$\frac{5}{x^{3}} + 3 \sqrt[4]{y} = 18$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[4]{y}$ 을(를) $y^{\frac{1}{4}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{5}{x^{3}} + 3 y^{\frac{1}{4}} = 18$

단계 2

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (\frac{5}{x^{3}} + 3 y^{\frac{1}{4}}) = \frac{d}{d x} (18)$

단계 3

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

합의 법칙에 의해 $\frac{5}{x^{3}} + 3 y^{\frac{1}{4}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{3}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{5}{x^{3}}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ 입니다.

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

단계 3.2.2

$\frac{1}{x^{3}}$ 을 ${(x^{3})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$5 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

단계 3.2.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $x^{3}$ 로 바꿉니다.

$5 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

단계 3.2.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

단계 3.2.3.3

$u_{1}$ 를 모두 $x^{3}$ 로 바꿉니다.

$5 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

단계 3.2.4

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

단계 3.2.5

${(x^{3})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$5 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

단계 3.2.5.2

$3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$5 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

단계 3.2.6

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$5 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

단계 3.2.7

지수를 더하여 $x^{- 6}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.7.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$5 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

단계 3.2.7.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$5 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

단계 3.2.7.3

$2$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$5 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

단계 3.2.8

$- 3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$- 15 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 y^{\frac{1}{4}}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$ 입니다.

$- 15 x^{- 4} + 3 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$

단계 3.3.2

$f (x) = x^{\frac{1}{4}}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{4}}] \frac{d}{d x} [y])$

단계 3.3.2.2

$n = \frac{1}{4}$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{1}{4} {u_{2}}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

단계 3.3.2.3

$u_{2}$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{1}{4} y^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

단계 3.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{1}{4} y^{\frac{1}{4} - 1} y')$

단계 3.3.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{1}{4} y^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} y')$

단계 3.3.5

$- 1$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{1}{4} y^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} y')$

단계 3.3.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{1}{4} y^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}} y')$

단계 3.3.7

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.7.1

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{1}{4} y^{\frac{1 - 4}{4}} y')$

단계 3.3.7.2

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{1}{4} y^{\frac{- 3}{4}} y')$

단계 3.3.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{1}{4} y^{- \frac{3}{4}} y')$

단계 3.3.9

$\frac{1}{4}$ 와 $y^{- \frac{3}{4}}$ 을 묶습니다.

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{y^{- \frac{3}{4}}}{4} y')$

단계 3.3.10

$\frac{y^{- \frac{3}{4}}}{4}$ 와 $y'$ 을 묶습니다.

$- 15 x^{- 4} + 3 \frac{y^{- \frac{3}{4}} y'}{4}$

단계 3.3.11

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $y^{- \frac{3}{4}}$ 를 분모로 이동합니다.

$- 15 x^{- 4} + 3 \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}}$

단계 3.3.12

$3$ 와 $\frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}}$ 을 묶습니다.

$- 15 x^{- 4} + \frac{3 y'}{4 y^{\frac{3}{4}}}$

단계 3.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 15 \frac{1}{x^{4}} + \frac{3 y'}{4 y^{\frac{3}{4}}}$

단계 3.4.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

$- 15$ 와 $\frac{1}{x^{4}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 15}{x^{4}} + \frac{3 y'}{4 y^{\frac{3}{4}}}$

단계 3.4.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{15}{x^{4}} + \frac{3 y'}{4 y^{\frac{3}{4}}}$

단계 4

$18$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $18$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $18$ 입니다.

$0$

단계 5

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$- \frac{15}{x^{4}} + \frac{3 y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} = 0$

단계 6

$y'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

방정식의 양변에 $\frac{15}{x^{4}}$ 를 더합니다.

$\frac{3 y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} = \frac{15}{x^{4}}$

단계 6.2

양변에 $4 y^{\frac{3}{4}}$ 을 곱합니다.

$\frac{3 y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} (4 y^{\frac{3}{4}}) = \frac{15}{x^{4}} (4 y^{\frac{3}{4}})$

단계 6.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1.1

$\frac{3 y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} (4 y^{\frac{3}{4}})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$4 \frac{3 y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} y^{\frac{3}{4}} = \frac{15}{x^{4}} (4 y^{\frac{3}{4}})$

단계 6.3.1.1.2

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$4 \frac{3 y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} y^{\frac{3}{4}} = \frac{15}{x^{4}} (4 y^{\frac{3}{4}})$

단계 6.3.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3 y'}{y^{\frac{3}{4}}} y^{\frac{3}{4}} = \frac{15}{x^{4}} (4 y^{\frac{3}{4}})$

단계 6.3.1.1.3

$y^{\frac{3}{4}}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 y'}{y^{\frac{3}{4}}} y^{\frac{3}{4}} = \frac{15}{x^{4}} (4 y^{\frac{3}{4}})$

단계 6.3.1.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$3 y' = \frac{15}{x^{4}} (4 y^{\frac{3}{4}})$

단계 6.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1

$\frac{15}{x^{4}} (4 y^{\frac{3}{4}})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$3 y' = 4 \frac{15}{x^{4}} y^{\frac{3}{4}}$

단계 6.3.2.1.2

$4 \frac{15}{x^{4}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1.2.1

$4$ 와 $\frac{15}{x^{4}}$ 을 묶습니다.

$3 y' = \frac{4 \cdot 15}{x^{4}} y^{\frac{3}{4}}$

단계 6.3.2.1.2.2

$4$ 에 $15$ 을 곱합니다.

$3 y' = \frac{60}{x^{4}} y^{\frac{3}{4}}$

단계 6.3.2.1.3

$\frac{60}{x^{4}}$ 와 $y^{\frac{3}{4}}$ 을 묶습니다.

$3 y' = \frac{60 y^{\frac{3}{4}}}{x^{4}}$

단계 6.4

$3 y' = \frac{60 y^{\frac{3}{4}}}{x^{4}}$ 의 각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1

$3 y' = \frac{60 y^{\frac{3}{4}}}{x^{4}}$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 y'}{3} = \frac{\frac{60 y^{\frac{3}{4}}}{x^{4}}}{3}$

단계 6.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 y'}{3} = \frac{\frac{60 y^{\frac{3}{4}}}{x^{4}}}{3}$

단계 6.4.2.1.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{\frac{60 y^{\frac{3}{4}}}{x^{4}}}{3}$

단계 6.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.3.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$y' = \frac{60 y^{\frac{3}{4}}}{x^{4}} \cdot \frac{1}{3}$

단계 6.4.3.2

조합합니다.

$y' = \frac{60 y^{\frac{3}{4}} \cdot 1}{x^{4} \cdot 3}$

단계 6.4.3.3

$60 y^{\frac{3}{4}} \cdot 1$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{3 (20 y^{\frac{3}{4}} \cdot 1)}{x^{4} \cdot 3}$

단계 6.4.3.4

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.3.4.1

$x^{4} \cdot 3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{3 (20 y^{\frac{3}{4}} \cdot 1)}{3 \cdot x^{4}}$

단계 6.4.3.4.2

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{3 (20 y^{\frac{3}{4}} \cdot 1)}{3 \cdot x^{4}}$

단계 6.4.3.4.3

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{20 y^{\frac{3}{4}} \cdot 1}{x^{4}}$

단계 6.4.3.5

$20$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{20 y^{\frac{3}{4}}}{x^{4}}$

단계 7

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{20 y^{\frac{3}{4}}}{x^{4}}$