미적분 예제

$y = \frac{x}{e^{x}}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x}{e^{x}})$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

단계 3.2

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.1

${(e^{x})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.2.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

단계 3.2.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

단계 3.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{e^{x} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

단계 3.2.3

$e^{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{x} - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

단계 3.3

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{e^{x} - x e^{x}}{e^{2 x}}$

단계 3.4

간단히 합니다.

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단계 3.4.1

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- e^{x} x + e^{x}}{e^{2 x}}$

단계 3.4.2

$- e^{x} x + e^{x}$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.4.2.1

$- e^{x} x$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{x} (- x) + e^{x}}{e^{2 x}}$

단계 3.4.2.2

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 1}{e^{2 x}}$

단계 3.4.2.3

$e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 1$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{x} (- x + 1)}{e^{2 x}}$

단계 3.4.3

$e^{x}$ 및 $e^{2 x}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.4.3.1

$e^{x} (- x + 1)$ 에서 $e^{2 x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x}}$

단계 3.4.3.2

공약수로 약분합니다.

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단계 3.4.3.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x} \cdot 1}$

단계 3.4.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x} \cdot 1}$

단계 3.4.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{e^{- x} (- x + 1)}{1}$

단계 3.4.3.2.4

$e^{- x} (- x + 1)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$e^{- x} (- x + 1)$

단계 3.4.4

분배 법칙을 적용합니다.

$e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1$

단계 3.4.5

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- e^{- x} x + e^{- x} \cdot 1$

단계 3.4.6

$e^{- x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- e^{- x} x + e^{- x}$

단계 3.4.7

$- e^{- x} x + e^{- x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- x e^{- x} + e^{- x}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = - x e^{- x} + e^{- x}$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - x e^{- x} + e^{- x}$